Почему состояние ππ\pi-потока имеет симметрию обращения времени?

Я не знаю статью, на которую вы ссылаетесь, но я считаю, что обсуждаемый вами гамильтониан должен получить$\pi$- фазовый сдвиг после одного оборота вокруг ячейки (2D) решетки. Так что я думаю, что это должно читаться$H=F^{\dagger}\cdot H_{\pi}\cdot F$с

и$F^{\dagger}=\left(\begin{array}{cccc} f_{1}^{\dagger} & f_{2}^{\dagger} & f_{3}^{\dagger} & f_{4}^{\dagger}\end{array}\right)$. Затем

где$\eta$и$\tau$обычные матрицы Паули.

Оператор симметрии обращения времени — если он существует — определяется как антиунитарный оператор, коммутирующий с гамильтонианом. Такой оператор может быть определен как$T=\mathscr{K}\tau_{z}\otimes\mathbf{i}\eta_{y}$и поэтому$H$является симметричным с обращением времени.$\mathscr{K}$является антиунитарным оператором$\mathscr{K}\left[\mathbf{i}\right]=-\mathbf{i}$и поэтому$\mathscr{K}\left[\eta_{y}\right]=-\eta_{y}$. Один подтверждает, что$\left[H_{\pi},T\right]=0$как надо.

Пожалуйста, скажите мне, если я начал с неправильного гамильтониана.

Несколько слов об определении (как следует из комментария ниже): Оператор обращения времени определяется так же, как и я, т. е. применяется к гамильтониану$H_{\pi}$, (если хотите, назовите это плотностью гамильтониана, поскольку в моей манере письма$H=F^{\dagger}\cdot H_{\pi}\cdot F$, точки должны включать суммирование(я) по фазе-пространству-времени [удалить при необходимости]). Вы могли бы предпочесть определить действие оператора как преобразование операторов (или волновой функции). Но вы не должны использовать оба определения одновременно . Понятно, что нельзя делать и то, и другое, так как иначе вы трансформируете$H=F^{\dagger}\cdot H_{\pi}\cdot F \rightarrow F^{\dagger}\cdot U^{\dagger}\cdot \left(U \cdot H_{\pi} \cdot U^{\dagger}\right) \cdot U\cdot F = H$тривиально, любое (анти-)унитарное преобразование$U$твой выбор. Понятно, что то, что вы ищете, похоже на$H=F^{\dagger}\cdot H_{\pi}\cdot F \rightarrow F^{\dagger}\cdot U^{\dagger}\cdot H_{\pi} \cdot U\cdot F \sim H$и вы видите, что я только что сказал: примените преобразование к гамильтониану (плотности) или к полям, но не к тому и другому одновременно. В конденсированных средах мы обычно выбираем соглашение, которое я вам дал: мы преобразуем гамильтониан. Одна из причин заключается в том, что операторы (особенно фермионные операторы рождения/уничтожения) рассматриваются как кодирующие статистику полей, тогда как гамильтониан кодирует динамику, и изменить динамику — это простое воображение.

Опять же, благодаря$SU(2)$PSG, предложенный проф. Веном, теперь я могу ответить на свой вопрос,$THT^{-1}$на самом деле$SU(2)$калибр эквивалентен$H$, и заявление "$H$также не является SU (2) калибровочным эквивалентом гамильтониану, преобразованному с обращением времени$THT^{-1}$"в моем вопросе неправильно.

Перепишем гамильтониан как$H(\psi_i)=\sum_{<ij>}(\psi_i^\dagger\chi_{ij}\psi_j+H.c.)$, где$\psi_i=(f_{i\uparrow},f_{i\downarrow}^\dagger)^T$и$\chi_{ij}=\begin{pmatrix} t_{ij} & 0\\ 0 & -t_{ij}^* \end{pmatrix}$. И разделите квадратную решетку на две подрешетки (ближайшие соседние узлы принадлежат разным подрешеткам), обозначенные как$A$и$B$. Теперь легко увидеть, что

Замечания: На самом деле, пока гамильтониан среднего поля$H(\psi_i)$на решетке suqare имеет указанную выше форму (содержащую только члены ближайшего соседа )

(1) с$\chi_{ij}=\begin{pmatrix} t_{ij} & \Delta_{ij}\\ \Delta_{ij}^* & -t_{ij}^* \end{pmatrix}$, гамильтониан среднего поля$H(\psi_i)$всегда удовлетворяет приведенному выше тождеству при преобразовании с обращением времени, и, таким образом, спроецированное спиновое состояние всегда имеет симметрию с обращением времени.

(2) с другой стороны , если$\chi_{ij}=\begin{pmatrix} t_{ij} & 0\\ 0 & -t_{ij}^* \end{pmatrix}$, где$t_{ij}$параметризуются четырьмя комплексными параметрами$t_{1,2,3,4}$как показано на рис.1. в газете , пока$t_{1,2,3,4}$имеют равные величины (нет необходимости в равной фазе), то можно также показать, что спроецированное спиновое состояние обладает трансляционной симметрией.