Единица логнормальной функции плотности вероятности

Единицы функции плотности вероятности (PDF) для количества$x$, являются обратными единицами$x$. Например, если$x$имеет единицы длины, то PDF$P(x)$имеет единицы 1/длина, так что вероятность$P(x) dx$является безразмерным.

Тот факт, что функциональная форма PDF может быть логарифмически-нормальным распределением, не имеет отношения к размерам PDF.

Обратите внимание, что аббревиатура PDF может также относиться к функции распределения вероятностей в контексте дискретных случайных величин. Конечно, логарифмически нормальное распределение является непрерывным, поэтому ваш вопрос предположительно относится к функциям плотности вероятности. Тем не менее, чтобы избежать путаницы, как указал @JohnDarby, в контексте дискретных случайных величин функция распределения вероятностей является безразмерной, поскольку она дает безразмерные вероятности для каждого возможного результата.

Рассмотрим любую непрерывную случайную величину$V$с функцией плотности вероятности$p_V$. Для$v$любое конкретное значение$V$,$p_{V}(v)$это не вероятность. Вероятность конкретного значения$V$точно$v$всегда равен нулю и не имеет смысла; имеет значение вероятность того, что$V$внутри$dv$о$v$и эта вероятность$p_V(v)dv$который всегда безразмерен независимо от единиц V, как и должно быть, поскольку это вероятность. Итак, единицы$p_{v}$являются обратными единицами$V$. См. предыдущий ответ @Andrew.

Для дискретной случайной величины$R$с плотностью вероятности$p_{R}$, вероятность того, что$R$это конкретное значение$r$является$p_{R}(r)$.$p_{R}$для дискретной переменной - это «функция массы вероятности», которую иногда называют «функцией плотности вероятности», и она всегда безразмерна, независимо от единиц измерения R, как и должно быть, поскольку это вероятность.

Логнормальное распределение является частным случаем. Логнормальное распределение для непрерывной случайной величины$X$означает, что логарифм$X$нормально распределяется. Если$Y=ln(X)$и Y нормально распределены, то распределение для$X$является логнормальным распределением. Переменная Y безразмерна, так как является логарифмом числа. Итак, функция плотности вероятности$p_{Y}$также безразмерна для этого частного случая.$X$могут иметь размеры, поэтому единицы измерения$p_{X}$являются обратными единицами$X$.