Единицы ВНУТРИ дельта-функции Дирака

Давайте сначала проясним одну вещь: вы никогда не сможете сложить (или вычесть) два выражения с разными единицами измерения. Например, в$\delta(x - 1)$, 1 безразмерна, что означает$x$также должен быть безразмерным.

Тогда есть отдельный вопрос о единицах выражения внутри дельты Дирака. Выражение внутри дельты является ее аргументом, а, как вы знаете, аргумент не обязательно должен быть безразмерным. Итак, вот ваш ответ. Ты можешь написать$\delta(x - 1\text{ m})$, например, и поскольку$x - 1\text{ m}$имеет единицы длины, сама дельта-функция будет иметь единицы обратной длины.

Причина, по которой аргументы многих функций должны быть безразмерными, заключается в том, что эти функции могут быть выражены в виде степенного ряда,

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$$

где$a_i$просто цифры. ¹ Например,

$$\begin{align} \exp(x) &= 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \cdots \\ \sin(x) &= x - \frac{x^3}{6} + \cdots \end{align}$$

Если$x$есть единицы измерения, скажем, длины, тогда вы будете добавлять число к длине, к площади (длина в квадрате), к объему и т. д., а, как я уже сказал, этого не может произойти.

Но дельта-функция не входит в число тех функций, которые можно выразить в виде степенного ряда. На самом деле это вообще не функция . Это распределение, неявно определяемое интегралом

$$\int_a^b f(x) \delta(x - x_0)\mathrm{d}x = \begin{cases}f(x_0), & a \le x_0 \le b \\ 0,& \text{otherwise}\end{cases}$$

Чтобы этот интеграл вышел в тех же единицах, что и$f(x_0)$, а остальное выражение интегрируется, т. е. комбинация$\delta(x - x_0)\mathrm{d}x$- должен быть безразмерным. И с тех пор$\mathrm{d}x$имеет те же единицы, что и$x$,$\delta(x - x_0)$должен иметь единицу, которая отменяет эту единицу.

---

¹ Можно возразить, что можно определить функцию$f$в виде степенного ряда, где коэффициенты$a_n$есть единицы соответствующего типа, и в этом случае аргумент$x$ были бы единицы. Но вы всегда можете обобщить такую ​​функцию на другую функцию безразмерной переменной: просто напишите$a_n = f_0 b_n/x_0^n$где$b_n$безразмерно и$x_0$имеет ту же размерность, что и$x$, а затем выразить функцию как

$$f(x) = \sum a_n x^n = f_0\sum b_n (x/x_0)^n = f_0 g(x/x_0)$$ где $g(y) = \sum b_n y^n$. Функция $g$выражает ту же функциональную связь, что и $f$, но с точки зрения безразмерной переменной, и, таким образом, более полезно.

Подсказка: используйте идентификатор

$$\delta(ax)~=~\frac{1}{|a|}\delta(x)$$

(где$a\neq 0$ненулевая действительная константа) для перемещения единиц в дельта-функцию Дирака и из нее $\delta(x)$.

Вы правы, сама дельта-функция имеет размерность, обратную своему аргументу. Теперь вопрос: откуда берется аргумент? Что определяет его единицы? В принципе, можно составлять произвольные выражения с разными единицами измерения для каждого термина. Но можно ли это интерпретировать физически? Нет. Во многих приложениях в физике дельта-функция служит для ограничения некоторого выражения точкой в ​​пространстве (времени), т.е.

$$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r'}),$$

где$\mathbf{r}$является вектором общего положения и$\mathbf{r'}$представляет выражение, которым вы хотите его ограничить. Это можно использовать, например, для моделирования плотности точечного заряда в электродинамике. Обе величины в аргументе представляют позицию, т.е. имеют размерность длины и поэтому могут быть измерены в метрах. Не имеет смысла назначать положение, например, скорости.

Поэтому, если вы запишете выражение вида$\delta(x-1)$, необходимо убедиться, что x безразмерен (при условии, что$1$также считается безразмерным).

Редактировать:

Вы также можете думать об этом так:

Дельта-функция Дирака дает ненулевое значение только в том случае, если ее аргумент равен нулю. В вашем случае это дается условием$x-1=0$или$x=1$. Это уравнение. Уравнение может выполняться только в том случае, если члены по обе стороны от знака равенства равны . Это также означает, что единицы измерения должны совпадать. Вы не можете приравнять, например, секунды к метрам или метры к безразмерной (безразмерной) величине. Поэтому все термины в аргументе дельта-функции должны иметь одинаковую размерность/единицу.