Представление размеров в результатах дельта-функции Дирака

Размерность дельта- функции Дирака обратно пропорциональна размерности ее аргумента. Так что если$x$это длина тогда$\delta(x)$имеет размерность обратной длины.

В вашем примере собственное состояние импульса в представлении положения имеет волновую функцию

$$\psi_p(x) = A \mathrm{e}^{i p x / \hbar}$$ Интерпретация волновой функции заключается в том, что $|\psi|^2$это плотность вероятности, размерность которой равна 1/длина. Поэтому, $A$имеет размерность $1/\sqrt{\mathrm{Length}}$.

Как вы говорите, вычисление скалярного произведения двух собственных функций импульса с собственными значениями$p_1$и$p_2$дает

$$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \, \psi_{p_1}^*(x) \psi_{p_2}(x) = |A|^2 \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \mathrm{e}^{i(p_2-p_1)x/\hbar} = |A|^2 2\pi \hbar \delta(p_2 - p_1)$$ Левая часть безразмерна, а значит, и правая часть. $\hbar \delta(p_2-p_1)$имеет размерность длины, поэтому снова мы получаем, что размерность $A$является $1/\sqrt{\mathrm{Length}}$.

В приведенном вами примере единицы складываются:

Вы правильно установили, что дельта-распределение имеет размерность, обратную размерности его аргумента. Это можно увидеть разными способами, например, взглянув на$\int f(x)\delta(x-x_0) dx = f(x_0)$, где LHS должен иметь любые размеры$f$имеет.

При этом мы смотрим на размеры$\lvert A \rvert^2 2\pi\hbar \;\delta(p_1-p_2)$:

$$\left[\lvert A \rvert^2 2\pi\hbar\; \delta(p_1 - p_2) \right] = \textsf{L}^{-1} \left[ \hbar \delta(p_1-p_2) \right] = \textsf{L}^{-1} \frac{\left[ \hbar \right]}{[(p_1-p_2)]} = \textsf{L}^{-1} [x] = \textsf{L}^{-1} \textsf{L}^{1} = 1,$$ где я это использовал $\frac{p}{\hbar}$должен иметь размеры, обратные $x$чтобы сделать аргумент экспоненты безразмерным.

---

_{Примечание: для$\psi_p(x)=A\exp(\frac{ipx}{\hbar})$, мы хотим$\int \lvert \psi \rvert^2 dx$для представления вероятности, которая безразмерна. Отсюда следует, что$A$должен иметь размеры$\textsf{L}^{-\frac12}$.}

Я не совсем уверен, что вы имеете в виду под обозначением, например

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\cdot(kg^{-1}m^{-1}s)}}e^{\frac{\iota px}{\hbar}}.$$

Собственные состояния импульса$\psi_p(x) = \frac{1}{2\pi\hbar} e^{ipx/\hbar}$, это верно в любой системе единиц. Вам не нужно умножать на какие-либо единицы. В системе СИ это единицы

$$\frac{1}{\sqrt{kg\, m^2\, s^{-1}}} . \tag{*}$$

Определять

$$\psi_p(x)=Ae^{\frac{\iota px}{\hbar}}$$ Здесь, $A$имеет единицы $m^{-1}$.

Обратите внимание, что$\int |\psi_p(x)|^2\, dx \neq 1$(состояние не нормализуемо), поэтому нет причин, по которым размерность$A$должна быть обратная длина! Вместо нормализации мы используем следующее:

$$\langle p' \mid p \rangle = \int \psi_p(x) \psi_{p'}(x)^\ast dx = \delta(p'-p) ,$$ здесь $\delta$-функция имеет единицы $kg^{-1}\, m^{-1}\, s$который полностью совместим с (*).

Или, может быть, это поможет вам рассмотреть

$$\delta(x') = \langle x' | x=0 \rangle = \int \psi_p(0)^\ast \psi_p(x')\, dp = \frac{1}{2\pi\hbar} \int e^{ipx'/\hbar}\, dp ,$$ где единицы также совпадают (конечно).

tl;dr - Некоторые из общих «определений» дельта-функции Дирака не являются математически строгими, а скорее концептуальными. Путаница с единицами, кажется, происходит из-за того, что эти функции понимаются более буквально, чем предполагалось. На самом деле это безразмерный фактор.

---

Дельта-функцию Дирака можно определить как

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}dt$$ Отсюда мы видим, что функция Дирака имеет единицы $x^{-1}$.

Это не следует. Дельта-функция Дирака дает безразмерное значение, обычно используемое в качестве коэффициента для некоторого другого термина, чтобы обнулить значение этого термина для большинства значений$x$.

Источники, которые я могу найти для собственного вектора импульса, игнорируют единицы дельта-функции, даже не упоминая.

Они не назначают единицы, потому что в самой дельта-функции Дирака их нет.

О заблуждении об отмене единиц

Ниже в комментариях @BySymmetry объяснил путаницу в результате наблюдения, что

$$\int \text{d}x{\delta}\left(x\right)f\left(x\right)=f\left(0\right),$$ где, если мы хотим, чтобы единицы отменялись, нам нужно ${\delta}\left(x\right)$иметь единицы $x^{-1}$.

Как отмечает Википедия:

Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона–Никодима — истинной функции, для которой выполняется свойство

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f\left(0\right)$$ держит. ^[21] В результате последнее обозначение является удобным злоупотреблением обозначениями, а не стандартным интегралом (Римана или Лебега).

- Дельта-функция Дирака , Википедия

Короче говоря, это уравнение является «злоупотреблением обозначениями», а не фактическим определением дельта-функции Дирака. Итак, идея о том, что он должен иметь единицы$x^{-1}$на основе этого уравнения просто недоразумение.

Концептуально дельта Дирака — это просто устройство, позволяющее обнулять функцию везде, кроме одной точки. Это принципиально$0$-или-$1$коэффициент умножения, поэтому ему просто не хватает единиц. Вы можете написать это определение так, как вам нравится, чтобы оно соответствовало общепринятым математическим обозначениям, но, в конце концов, это все.

Пример заблуждения

Наличие единиц означает, что если вы измените единицы измерения, скажем, с метров на световые годы, вам нужно будет ввести коэффициент умножения. Но если вы вычисляете какое-то значение с помощью дельты Дирака, а затем переключаете единицу длины, действительно ли вы умножаете на такой коэффициент преобразования? Это было бы математической ошибкой.

Проблема в том, что дельта Дирака предназначена для бесконечно малого пространства, поэтому присваивать ей пропорциональность через единицы не имеет смысла.