Экспоненциальная форма Вейля канонических коммутационных соотношений

Здесь существует значительная опасность чрезмерного упрощения, но я считаю полезным подумать о построении$e^{i\lambda \hat q}$как оператор, порождающий характеристическую функцию распределения вероятностей в конкретном состоянии. Немного посвободившись от математических деталей, мы можем записать плотность вероятности наблюдения значения$q$в векторном состоянии$\left|\psi\right>$как$\mathsf{Pr}(q)=\left<\psi\right|\delta(q-\hat q)\left|\psi\right>$, для которого характеристической функцией является преобразование Фурье

$$C(\lambda)=\int\left<\psi\right|\delta(q-\hat q)\left|\psi\right>e^{i\lambda q}\mathrm{d}q= \left<\psi\right|e^{i\lambda \hat q}\left|\psi\right>.$$ Мы можем выполнить обратное преобразование Фурье обратно в плотность вероятности. Что обычно обозначают $Q$, как у вас здесь, более удобно помечен таким образом, чтобы подчеркнуть его отличие от оператора положения и значений, которые могут принимать измерения положения. Математически, $\lambda$является линейным двойником положения. Алгебраически очень ясно, что такое преобразование Фурье плотности вероятности, но, возможно, не так ясно, каков его физический смысл. Возможно, лучше думать об этом как о формальном устройстве, использующем $\lambda$для отслеживания всех моментов вероятностей разных результатов измерения, что позволяет говорить, что $\lambda^n$связано с $n$-й момент. [Вы могли бы сделать намного хуже, если хотите понять производящие функции, хотя это немного идиосинкразическое предложение с моей стороны, непредвзято прочитать недавнюю серию Джона Баэза по теории сетей; поиск в Google по запросу «теория сети (часть» baez) находит их. Однако это может немного сбить вас с толку, поэтому, если вы хотите быстро понять, это может быть не для вас.]

Все по существу то же самое для оператора импульса, взятого отдельно, но если ввести оба$\hat q$и$\hat p$, так что мы рассматриваем такой объект, как

$$\tilde W(\lambda,\mu)=\int\left<\psi\right|\delta(q-\hat q)\delta(p-\hat p)\left|\psi\right> e^{i\lambda q+i\mu p}\mathrm{d}q\mathrm{d}p= \left<\psi\right|e^{i\lambda \hat q+i\mu\hat p}\left|\psi\right>,$$ а затем обратное преобразование Фурье этого объекта, мы получаем отрицательные «плотности вероятности» для некоторых значений $p$и $q$. Это функция Вигнера, о которой много написано .

Система Вейля,$\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right]$и$\exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]$, содержат два элемента «представления» группы Гейзенберга .

Насколько$\hat{p}$является производной по позиции q , Q является всего лишь величиной сдвига, на которую q в любой его функции переводится действием$\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right]$; то есть,$f(q) \mapsto f(q+Q)$.

Действие группового элемента$\exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]$над такими функциями более прозаично: умножение на$\exp\left[\frac{i}{\hbar}Pq\right]$, что является мягкой перефазировкой.

Что особенного в плетении соотношений Вейля,$\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right] \exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]$ $= e^{iPQ/\hbar} \exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right]$заключается в том, что они ограничены и, следовательно, ближе к своим конечномерным аналогам, и, таким образом, служат для освещения группы Гейзенберга и теоремы Стоуна-фон Неймана намного лучше, чем$\hat{q}$и$\hat{p}$. В частности, они являются континуальными пределами существенно более гибкой системы часов и матриц сдвига (группы).