Почему мы не используем метод Гамильтона-Якоби в QM?

I) Хорошо известно, что полуклассически уравнение Гамильтона-Якоби имеет самый низкий порядок в$\hbar$в разложении ВКБ уравнения Шредингера . См. также ссылку. 1.

II) Квантовая концепция канонического преобразования (КТ)

$$z^I~=~(\hat{q}^i; \hat{p}_i) \quad\longrightarrow\quad Z^J~=~(\hat{Q}^j; \hat{P}_j) \tag{1}$$

(где и старая, и новая канонические переменные удовлетворяют CCR ) обычно становится очень трудно реализовать для всех квантовых порядков, если только мы не говорим об аффинном преобразовании.

$$z^I \quad\longrightarrow\quad Z^J ~=~ A^J{}_I z^I +b^J. \tag{2}$$

Таким образом, большая гибкость классической КТ (по крайней мере, с точки зрения практических вычислений, но не с теоретической точки зрения) заменяется жесткостью на полном квантовом уровне.

III) На практике при квантовании теории следует сначала искать простейшую классическую постановку задачи (которая дает те же классические уравнения движения и наиболее поддается квантованию), а затем пытаться ее квантовать.

Например, если классический лагранжиан содержит общий квадратный корень, прежде чем пытаться квантовать систему, обычно пытаются найти эквивалентный классический лагранжиан, квадратичный по фундаментальным переменным.

Использованная литература:

1. Б. С. ДеВитт, Глобальный подход к QFT, том 1, 2003 г.; экв. (13.12).