Обозначение скобок строгим способом

Рассмотрим случай векторного пространства счетной размерности с некоторым ортонормированным набором базисных наборов.$\left\{\vert\mathbf{e}_i\rangle\right\}$. Условие ортонормированности формулируется как$\langle \mathbf{e}_i \vert \mathbf{e}_j \rangle = \delta_{ij}$, где$\delta_{ij}$это дельта Кронекера. Затем мы можем разложить любой вектор по этому базису,

$$\vert \psi \rangle = \sum_i \psi_i \vert \mathbf{e}_i \rangle,$$ где$\psi_i$являются компонентами$\vert \psi \rangle$, т. е. являются проекциями$\vert \psi \rangle$вдоль базисных векторов$\vert \mathbf{e}_i \rangle$, что мы можем сформулировать более технически, отметив, что единичная матрица может быть записана как $$I = \sum_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \langle \mathbf{e}_i \vert,$$ в таком случае $$\vert \psi \rangle = I \vert \psi \rangle = \sum_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle,$$ то есть $$\psi_i = \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle.$$

Теперь обобщим это на несчетный базис. Например, мы определяем базис позиции как набор$\left\{\vert \mathbf{x} \rangle \,\vert\, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \right\}$. Теперь условие ортонормированности немного изменено (технические подробности можно прочитать о «оснащенных» гильбертовых пространствах),$\langle \mathbf{x} \vert \mathbf{x}' \rangle = \delta^{3}(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$где$\delta^3$представляет собой трехмерную дельту Дирака. Затем мы можем расширить тождественный оператор (это уже не матрица, если базис несчетный) как

$$I = \int_{\mathbb{R}^3} d^3\mathbf{x}\, \vert \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} \vert.$$ Затем, как и раньше, расширяем вектор$\vert \psi \rangle$как $$\vert \psi \rangle = I\vert \psi \rangle = \int d^3\mathbf{x} \, \vert \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} \vert\psi \rangle \equiv \int d^3\mathbf{x} \, \psi(\mathbf{x})\,\vert \mathbf{x} \rangle,$$ поэтому волновая функция$\psi(\mathbf{x})$это просто компоненты вектора$\vert \psi \rangle$вдоль базисных векторов$\vert \mathbf{x} \rangle$, как и в счетном случае. Разница только в том, что сейчас$\mathbf{x}$помечает базисные векторы вместо дискретного индекса$i$. $$\psi_i \equiv \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle \leftrightarrow \psi(\mathbf{x}) \equiv \langle \mathbf{x} \vert \psi \rangle \quad\,\,$$ $$\vert\psi\rangle = \sum_i \psi_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \leftrightarrow \vert \psi \rangle = \int d^3\mathbf{x}\, \psi(\mathbf{x}) \vert \mathbf{x} \rangle$$ Для педагогического введения рекомендую заметки, находящиеся на этой странице , в частности «Блок 1: Математические основы».

Вы можете определить$|\Psi\rangle$как:

$$\begin{equation} |\Psi\rangle=\int \Psi(y) |y\rangle d^3y \end{equation}$$ С$\{|y\rangle \ \,|\,y \in \mathbb{R}^3\}$базис гильбертова пространства$H$позиций. С$\langle x|$линейная форма такая, что$\langle x|(|y\rangle)\equiv \langle x|y\rangle=\delta^{(3)}(x-y)$у нас есть : $$\begin{equation} \langle x|\Psi\rangle=\int \Psi(y) \delta^{(3)}(x-y) d^3y=\Psi(x) \end{equation}$$