Матрицы в нотации Дирака

Это формализм Дирака. Это обобщение на непрерывный базис, т. е. те, которые пронумерованы индексом, который принимает значения в непрерывном множестве, подобном$\mathbb{R}^n$.

В этой настройке у вас есть это так же, как$|e_n\rangle$представляет собой дискретный базис, который позволяет разложить

$$|\psi\rangle=\sum_{n}\langle e_n|\psi\rangle |e_n\rangle,$$

и относительно которого выполняется отношение замыкания

$$\sum_{n}|e_n\rangle\langle e_n|=\mathbf{1}$$

мы предполагаем, что у нас может быть один базис$|x\rangle$перечисляется некоторым непрерывным параметром, например$x\in \mathbb{R}$, так что мы можем разложить

$$|\psi\rangle=\int \langle x|\psi\rangle |x\rangle dx$$

с отношением замыкания

$$\int|x\rangle \langle x|dx = \mathbf{1}.$$

Дело в том, что примерно если$A$является одним компактным оператором, спектральная теорема гарантирует, что у вас есть дискретный ортонормированный базис собственных векторов$|a_n\rangle$такой, что$A|a_n\rangle = a_n |a_n\rangle$(Для простоты я предполагаю невырожденным).

Когда$A$неограничен, как это часто бывает в КМ, такого базиса не существует. Но вы полагаете, что такой обобщенный базис существует. Так что если$X$неограниченно, вы предполагаете, что для каждого собственного значения$x\in \sigma(X)$спектр$X$есть государственный кет$|x\rangle$с$X|x\rangle = x|x\rangle$и формирование основы.

Обратите внимание, что всякий раз, когда у вас есть операторы положения и импульса$X,P$вы хотите потребовать$[X,P]=i\hbar$и есть теорема, которая гарантирует, что по крайней мере одно из них будет неограниченным, так что тогда понадобится то, что было сказано выше.

Это важно из-за постулатов КМ. Наблюдаемые являются эрмитовыми операторами. Возможные измеряемые значения — это в точности значения на спектре, т. е. «собственные значения» и состояния с определенным значением величины являются собственными векторами, тогда измеряемое значение является соответствующим собственным значением.

Затем постулируется, что если$A$наблюдаемая с непрерывным базисом$|a\rangle$тогда$\rho(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2$– плотность вероятности нахождения значения$A$в штате$|\psi\rangle$быть между$a$а также$a+da$.

Затем вы связываете это с волновой механикой. Рассмотрим частицу в одном измерении. У нас есть наблюдаемое$X$соответствующий должности. Позволять$|S(t)\rangle$быть государством в то время$t$. Как мы знаем, позиция может принимать любое возможное значение, поэтому$\sigma(X)=\mathbb{R}$. Позволять$x\in \mathbb{R}$, соответствующий обобщенный собственный вектор равен$|x\rangle$. Вероятность найти частицу между$x$а также$x+dx$затем$\rho(x) = |\langle x|\psi\rangle|^2$.

Итак, соприкасаясь с волновой механикой, мы видим, что$\Psi(x,t)=\langle x|S(t)\rangle$верно.

И последнее замечание: все, что касается обобщенных собственных векторов и непрерывного базиса из формализма Дирака, чрезвычайно полезно и элегантно, но не является строгим. В строгом функциональном анализе нет собственного вектора для несвязанных операторов, и эти разложения не определены. Тем не менее, есть один обходной путь, который делает все это понятным, называемый тройным подходом Гельфанда.

Простой (но довольно нестрогий) способ подумать об этом:

Ваше гильбертово пространство$\mathcal{H}$образован квадратично-интегрируемыми функциями на прямой, т.е. элементами$\mathcal{H}$даются картами$\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$такой, что$\int_{-\infty}^{\infty} dx \,|\psi(x)|^2$конечен, например, гауссовым,$\psi(x) = e^{-x^2/2}$.

Каждый "кет" вы записываете$|\psi\rangle$представляет некоторую карту$\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$.

Внутренние произведения двух таких наборов$|\psi\rangle, |\phi \rangle$просто дано$\langle \psi| \phi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx\, \psi^*(x) \phi(x)$куда$\psi(x), \phi(x)$являются картами, соответствующими этим кетам.

Простой способ думать о собственной позиции$|f_y\rangle$просто он представляет "функцию"$f_{y}(x) = \delta(x-y).$Это как раз и есть «собственные функции» позиционного оператора$\hat{x} : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$который занимает$\psi(x) \rightarrow x\ \psi(x)$. То есть$f_{y}(x)$- единственные функции, которые решают уравнение на собственные значения$\hat{x} f_y(x) = \lambda f_y(x)$с собственным значением$\lambda = y$. Причина кавычек вокруг слова функция и собственная функция заключается в том, что$f_y(x)$не интегрируемы с квадратом, то есть они на самом деле не$\mathcal{H}$.

Уточнение и строгость этих понятий является предметом функционального анализа.

Важно иметь в виду (и что не всегда подчеркивается в книгах), что волновая функция$\psi$на самом деле представляет собой набор коэффициентов, представляющих состояние системы в данном базисе.

Вектор$|S\rangle$является полностью абстрактным элементом векторного пространства, которое с помощью постулата должно представлять полностью состояние системы. Допустим, у вас есть наблюдаемая$A$с собственными значениями$a$и соответствующие собственные состояния$|a\rangle$,

$$A|a\rangle=a|a\rangle,$$ тогда государство $|S\rangle$можно накинуть на основу $\{|a\rangle\}$, $$|S\rangle=\sum_a\psi(a)|a\rangle.$$ Сбор коэффициентов $\psi(a)$волновая функция, связанная с состоянием $S$в базисе, определяемом наблюдаемой $A$. Если наблюдаемый $A$имеют непрерывные собственные значения, то указанная выше сумма заменяется интегралом и набором $\{\psi(a)\}$имеет бесконечные элементы и на самом деле является непрерывной функцией от переменной $a$.

Теперь рассмотрим конкретный пример состояния системы в базисе, определяемом положением. Если оператор$\hat x$имеет собственное состояние$|x\rangle$с собственным значением$x'$, тогда

$$\hat x|x\rangle=x'|x\rangle,$$ Поскольку волновая функция этого состояния просто $\psi(x)$, приведенное выше уравнение можно записать как $$x\psi(x)=x'\psi(x)\Rightarrow (x-x')\psi(x)=0.$$ Последнее уравнение говорит, что $\psi(x)$отличен от нуля только тогда, когда $x=x'$, т.е. $$\psi(x-x')=\delta(x-x').$$ Теперь рассмотрим внутренний продукт произвольного состояния $$|S\rangle=\int\psi(x)|x\rangle dx,$$ с собственным состоянием позиции $|x'\rangle$, $$\langle x'|S\rangle=\int\delta(x-x')\psi(x)dx=\psi(x').$$ С $x'$произвольно, мы можем сказать, что $$\langle x|S\rangle=\psi(x),$$ что является волновой функцией в представлении положения.