В квантовой механике |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle равно ψ(x)ψ(x)\psi(x)?

Начнем с того, что кеты — это векторы, а это значит, что если мы хотим их явную реализацию, нам нужно записать их относительно некоторого базиса. Первый базис, который видят большинство людей, — это базис положения, где базисные кеты — это состояния определенного положения. Тогда произвольное состояние$|\psi\rangle$можно записать как

где$\psi(x)$— знакомая волновая функция пространства положения. Это должно помочь объяснить, почему в последней строке есть интеграл, он происходит от этой суперпозиции состояний определенного положения.

Теперь о переписывании$\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle$, происходит то же самое, но причина отсутствия интегралов в том, что$\hat{H}$в$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$записывается как дифференциальный оператор, действующий теперь на пространстве позиций, а не как оператор, который каким-то образом действует на произвольный кет. Это может быть небольшим злоупотреблением обозначениями, но обычно из контекста ясно, в каком базисе гамильтониан записан в данном уравнении.

Состояние квантовой системы является элементом векторного пространства (в частности, гильбертова пространства). Обозначение$|\psi\rangle$используется для обозначения определенного вектора в этом пространстве. Такие операторы, как$\hat{H}$отображать состояния в гильбертовом пространстве в другие состояния в гильбертовом пространстве, поэтому$\hat{H} |\psi\rangle = |\phi\rangle$, где$|\phi\rangle$— другое состояние в гильбертовом пространстве. Некоторые векторы могут быть собственными векторами оператора, и в этом случае мы могли бы написать$\hat{H}|\psi\rangle = E |\psi\rangle$(где$E$просто обычное число, собственное значение).

Если мы рассматриваем волновую функцию, описывающую движение частицы в реальном пространстве, то нас может интересовать распространение волновой функции в пространстве. Гильбертово пространство в этом случае бесконечномерно. Естественный выбор базисных векторов для расширения$|\psi\rangle$это собственные состояния положения$|x\rangle$, где$x$любое положение в реальном пространстве.$|\psi\rangle$всегда можно выразить как суперпозицию различных базисных состояний с разными амплитудами в каждом базисном состоянии:

Мы можем формально связать$\psi(x)$к$|\psi\rangle$следующим образом: взять внутренний продукт расширения$|\psi\rangle$в базисе положения с любым собственным состоянием положения$|x'\rangle$:

Так$\psi(x) = \langle x | \psi \rangle$. То есть амплитуда волновой функции в положении$x$дается проекцией состояния$|\psi\rangle$на базовое состояние, определенное в позиции$x$,$|x\rangle$.

Это то, что также смущало меня некоторое время, когда я впервые узнал о квантовой механике. Во-первых, я думаю, что важно понять концепцию различных «пространств». Физики имеют дело с множеством различных пространств: обычным старым трехмерным реальным пространством, в котором мы живем, и множеством абстрактных «пространств».

Гильбертово пространство частицы — это «пространство» всех возможных состояний, в которых может находиться частица. Это НЕ то же трехмерное пространство, в котором частица на самом деле «движется». Гильбертово пространство также подчиняется обычным законам линейной алгебры и является бесконечномерным (каждый бит столь же бесконечномерен, как реальное пространство трехмерно).

В частности, размерность равна количеству точек в пространстве, а набор базисных векторов равен$\{\,|x\rangle\,|\,x\in \mathbb{R}\}$. Значение$|x\rangle$как состояние "частица находится в точке x".$|x\rangle$также является базисным вектором гильбертова пространства; обратите внимание, что есть один для каждого x. Так$|2.77\rangle$,$|-\sqrt{3}\rangle$,$|\pi\rangle$, и$|42\rangle$все базисные векторы, как и бесконечное множество других.

Важное уравнение на самом деле$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$. Это "правильная" версия вашего$|\psi \rangle \rightarrow \psi(x)$. Вектор$|\psi\rangle$живет в гильбертовом пространстве и является абстрактным математическим объектом, представляющим состояние частицы. Уравнение$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$по существу говорит, что скалярное произведение$| x\rangle$и$|\psi\rangle$, или, 'компонента вектора$|\psi\rangle$вдоль$|x\rangle$направление' равно некоторому числу, которое мы называем$\psi(x)$. Из-за бесконечной размерности вы можете взять все эти скалярные произведения (т.е. все компоненты$|\psi\rangle$по всем возможным «направлениям») и собрать их вместе в непрерывную функцию, волновую функцию.

Технически говоря, если$\vert \psi\rangle\to \psi(x)$затем$\langle\psi\vert\to \int \,dx\, \psi(x)^*$. Интегральный символ гарантирует, что склеивание бюстгальтера и комплекта вместе,$\langle \phi \vert \psi\rangle$, является скалярным произведением и (обычно комплексным) числом, дает то же самое, что и число, вычисленное как$\int dx \phi^*(x)\psi(x)$.

В частности,$\psi(x)$действительно$\langle x\vert\psi\rangle$, согласно этому вопросу . С использованием$\langle x\vert\psi\rangle =\psi(x)$позволяет интерпретировать$\psi(x)$как компонент$\vert\psi\rangle$вдоль базисного вектора$\vert x\rangle$. Если вы покупаете это, вы также можете выразить$\vert \psi\rangle$в импульсном базисе, где$\psi(p)=\langle p\vert\psi\rangle$.

Есть даже состояния - например спиновые состояния$\vert \pm\rangle$, для которого не существует «пространственной» волновой функции, т.е.$\langle x\vert +\rangle$не имеет смысла, поскольку степень свободы спина имеет физические размеры.

Таким образом, нотация Дирака — это способ подчеркнуть векторную природу состояний, которые можно комбинировать и умножать на скаляры точно так же, как это делают векторы. Он также подчеркивает, что выражение$\psi(x)$или$\psi(p)$, то есть волновая функция в пространстве положения или импульса, в основном является выбором базиса, очень похожего на выбор выражения вектора в сферических или декартовых координатах. Действительно, для перехода от одного базиса к другому нам понадобится формула перехода$\langle x\vert p\rangle \sim e^{-i p x/\hbar}$.

На самом деле это не так$\langle \psi | = \psi(x)^*$. Более точным было бы следующее утверждение.

Этот бюстгальтер$\langle \psi |$таким образом, можно рассматривать как функцию, которая отображает кет-состояния$| \phi \rangle$к комплексному числу.

Когда пространство состояний является проективизированным гильбертовым пространством$L^2$функции на$ℝ^1$,$|\psi\rangle$по определению является именем класса эквивалентности, представленного функцией$\psi$.$\langle\phi|\psi\rangle$по определению то же самое, что и$\int|\phi(x)\psi(x)|$(когда пространство состояний есть проективизированное гильбертово пространство$L^2$функции на$ℝ^1$".).