В чем разница между ψψ\psi и |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle?

$\psi (\vec{r},t)$как вы сказали, просто способ выразить вектор$|\psi (t)\rangle$в «позиционном пространстве», математически выраженном как написано в комментариях:

$$\psi (\vec{r},t) = \langle \vec{r} | \psi(t) \rangle = \int \delta(r'-r)\psi(t) d^3 r$$

Велют Луна дает основной ответ. Это можно увидеть, потому что у нас есть вероятностное ожидание$1~=~\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle$и с итоговой суммой$\mathbb I~=~\int d^3r|\vec r\rangle\langle \vec r|$тогда у нас есть

$$1~=~\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle~=~\langle\psi(t)|\left(\int d^3r|\vec r\rangle\langle\vec r|\right)|\psi(t)\rangle~=~\int d^3r\langle\psi(t)| \vec r\rangle\langle\vec r|\psi(t)\rangle.$$ В форме волновой функции мы имеем единицу вероятности как $$\int d^3r\psi^*(\vec r,t)\psi(\vec r,t).$$ идентификация очевидна.

Удобно думать о$\vert\psi\rangle$как вектор с компонентами$\langle x\vert\psi\rangle=\psi(x)$для различных значений$x$. Если представить дискретные, а не непрерывные значения$x$, то вектор$\vert\psi\rangle$будет бесконечный вектор-столбец

$$\left(\begin{array}{c} \vdots \\ \psi(x_{n-2})\\ \psi(x_{n-1})\\ \psi(x_{n})\\ \psi(x_{n+1})\\ \psi(x_{n+2})\\ \vdots \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \vdots \\ \langle x_{n-2}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n-1}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n+1}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n+2}\vert \psi\rangle \\ \vdots \end{array}\right)$$ полученный путем разложения вектора $\vert\psi\rangle$на базе штатов $\{\ldots, \vert x_{n-2}\rangle,\vert x_{n-1}\rangle,\vert x_{n}\rangle,\vert x_{n+1}\rangle,\vert x_{n+2}\rangle\ldots\}$

Существует, на мой взгляд, довольно глубокое и тонкое различие между двумя разными обозначениями. Второй гораздо более универсален, чем первый, и универсально применим в квантовой механике (в отличие от первого). Чтобы уточнить, две записи:

• Комплекснозначная функция$\psi(\cdot)$, с некоторым пробелом - например $\mathbb{R}^d$или$\{\uparrow,\downarrow\} \times \mathbb{R}^d$- как домен.
• Вектор в гильбертовом пространстве$\psi\in\mathscr{H}$(или$\lvert \psi\rangle$если вы предпочитаете, я буду использовать первый).

Объяснение того, почему второе является более универсальным, состоит в следующем. Мы знаем, что любая «разумная» физическая квантовая система может быть описана математически с помощью так называемой неабелевой C*-алгебры, которая представляет набор (некоммутативных) наблюдаемых системы. В свою очередь, любая C*-алгебра может быть представлена ​​набором линейных преобразований в некотором гильбертовом пространстве.

Теперь C* алгебра$N$ нерелятивистских квантовых частиц в$d$пространственные измерения имеют единственное неприводимое представление с точностью до унитарной эквивалентности (не вдаваясь в подробности, релевантными являются неприводимые представления). Такое представление есть алгебра (ограниченных) операторов в пространстве$L^2(\mathbb{R}^{dN})$, и самосопряженные (неограниченные) операторы$(x_1,\dotsc,x_N)$и$(-i\nabla_1,\dotsc,-i\nabla_N)$представляют операторы положения и импульса каждой частицы. Поэтому в этом случае естественно записать элемент гильбертова пространства нерелятивистской квантовой механики в виде (волновой) функции$\psi(x_1,\dotsc,x_N)\in L^2(\mathbb{R}^{dN})$.

Последнее, однако, перестает быть верным для релятивистской квантовой механики: существует бесконечно много неприводимых неэквивалентных представлений для алгебр наблюдаемых квантовых полей, и, в частности, нет единственного естественного описания в терминах волновой функции (al). Таким образом, в этом случае функциональная запись$\psi(\cdot)$, даже в тех представлениях, где оно жизнеспособно, было бы довольно двусмысленным и не таким «универсальным», как в нерелятивистской квантовой механике.

В заключение, пока речь идет о нерелятивистской квантовой механике, различие почти чисто эстетическое, в то время как для более общих (релятивистских) теорий следует вообще отказаться от идеи «волновой функции» и рассмотреть более абстрактные представления канонической коммутации отношения, для которых обозначение$\psi(\cdot)$может не иметь смысла (пока$\psi$еще есть смысл).

Наконец, позвольте мне также предвосхитить некоторые возможные комментарии. Верно, что все сепарабельные бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны, но все же существуют неэквивалентные представления С*-алгебры в релятивистских системах. Учитывая вакуумный вектор$\Omega$в заданном сепарабельном представлении$\mathscr{K}$, действительно возможно сопоставить его с волновой функцией, например $L^2(\mathbb{R})$, но нельзя сказать, какой оператор поля будет в последнем (поэтому карта бесполезна).