Электронная плотность в полупроводниках

Я хочу определить соотношение между плотностью носителей Н и химический потенциал мю е в зоне проводимости собственного полупроводника (например, GaN).

Зонная структура зоны проводимости предполагается параболической с эффективной массой м е * "=" 0,2 м е . Используя 3 Д в модели свободных электронных носителей соотношение определяется следующим образом:

Н "=" ∫ Е с ∞ г ( Е ) ф ( Е ) г Е         с         ф ( Е ) "=" 1 1 + е Е − мю е к Б Т         И         г ( Е ) "=" м е * 2 π 2 ℏ 3 Е

Поскольку полупроводник предназначен для работы при очень высоких концентрациях носителей ( Н ≈ 10 19 с м − 3 ), мы не будем использовать приближение Е с − мю е ≫ к Б Т . Используя Matlab для вычисления этих интегралов, я получаю следующие кривые для распределений ф ( Е ) г ( Е ) и Н ( мю е ) в Т "=" 300 К :

Распределения

Плотность как функция потенциала

Мы можем ясно видеть, что Н "=" 2.10 19 с м − 3 достигается с мю е − Е с "=" 11,87 м е В подтверждая, что приближение Е с − мю е ≫ к Б Т не может быть использован. Однако в исследовательской работе я обнаружил, что при использовании одних и тех же значений они получаются мю е "=" 130 м е В . Бумага это:

Модальное усиление в полупроводниковом лазере на нанопроволоках с анизотропной зонной структурой Маслов А.В., член IEEE, и Нинг Ч.З., старший член IEEE

Я действительно не понимаю, откуда могло взяться несоответствие после того, как я потратил на это полдня.

Не могли бы вы процитировать газету? Возможно, в статье есть предположения, которые вы упустили.
Я просто отредактировал пост, включая статью. Модель довольно сложна для валентной зоны, но проводимость должна быть простой. Подробности на странице 5 статьи
Ваш химический потенциал дан относительно Ec. Каков референтный уровень для того, что указано в статье?
Это хороший вопрос. Я не смог сказать точно. У меня такое чувство, глядя на их график структуры полосы, что происхождение взято из Е с для полосы проводимости. Глядя на бумагу, из которой они взяли свое дисперсионное соотношение, происхождение энергии взято таким, что Е с "=" 3,53 е В . Однако из моего рисунка ясно видно, что химический потенциал должен быть выше Е с получить Н "=" 2.10 19 / с м 3 так мю е "=" 130 м е В не может быть относительно этого происхождения.

Ответы (2)

Концентрация носителей в зоне проводимости собственного полупроводника при температуре Т является

Н "=" 1 2 π 2 ( 2 м е * ℏ 2 ) 3 / 2 ∫ Е с ∞ Е − Е с ф Ф Д ( Е , Т ) г Е
где м е * - эффективная масса электрона и ф Ф Д — функция распределения Ферми-Дирака. Брать мю быть энергией Ферми. Обычно мы используем приближение Больцмана для вычисления интеграла, принимая ( Е с − мю ) / к Б Т >> 1 . Но, если не использовать аппроксимацию, получится
Н "=" − 1 2 π 2 ( 2 м е * к Б Т ℏ 2 ) 3 / 2 Г ( 3 2 ) Ли 3 / 2 ( − е − ( Е с − Е Ф ) / к Б Т )
где Ли 3 / 2 это Полилогарифм. С Г ( 3 2 ) "=" π 2 , у нас есть
Н "=" − 2 ( м с * к Б Т 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 Ли 3 / 2 ( − е − ( Е с − Е Ф ) / к Б Т )

Затем,

лим Икс → ∞ Ли 3 / 2 ( − е − Икс ) е − Икс "=" лим Икс → 0 + Ли 3 / 2 ( − Икс ) Икс "=" − 1
Поэтому − Ли 3 / 2 ( − е − Икс ) ∼ е − Икс когда Икс → ∞ , который дает, н я "=" 2 ( м с * к Б Т 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 е − ( Е с − Е Ф ) / к Б Т когда ( Е с − Е Ф ) / к Б Т >> 1 это тот же результат, который мы получили с помощью приближения Больцмана.

Но, используя расширение ряда Маклорена Ли 3 / 2 , когда Икс → ∞ у нас есть

− Ли 3 / 2 ( − е − Икс ) "=" е − Икс − 0,35355 е − 2 Икс + 0,19245 е − 3 Икс − 0,125 е − 4 Икс + О ( е − 5 Икс )
Отсюда ясно, что
Н "=" 2 ( м с * к Б Т 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 е − Икс ( 1 − 0,35355 е − Икс + 0,19245 е − 2 Икс − 0,125 е − 3 Икс + О ( е − 4 Икс ) )
где Икс "=" ( Е с − Е Ф ) / к Б Т .введите описание изображения здесь

Вот график у "=" − а 3 2 Ли 3 / 2 ( − е − Икс / а ) для а "=" 1 , 2 , 3 .

Это полезно?

Ошибка была связана с запуском функции плотности состояний, которая должна была быть ≈ Е − Е с вместо Е . Действительно, на дне зоны проводимости Е с , плотность должна быть равна 0 отсюда и графики ф ( Е ) г ( Е ) должен больше походить на стандартную колоколообразную форму:введите описание изображения здесь

Электронная плотность в полупроводниках
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v