Причина частоты среза Дебая?

Дюлонг и Пети придумали$C_v$"="$3R$используя классическую теорему о равнораспределении, которую Эйнштейн модифицировал (поскольку она не могла быть верна для объектов, отличных от металлов) с помощью квантования Планка и предположил, что все атомы в твердом теле колеблются с одинаковой$\omega$что заставило его действовать как$3N$независимыми гармоническими осцилляторами... и это дало (неверный) результат, что теплоемкость стремится к$0$так как температура стремится к$0$К. Итак, Дебай исправил это, сказав:

Длинноволновые моды имеют более низкие частоты, чем коротковолновые моды, поэтому первые гораздо труднее заморозить, чем вторые (поскольку расстояние между уровнями квантовой энергии,$\hbar \,\omega$, в первом случае меньше). Молярная теплоемкость не уменьшается с температурой так быстро, как предполагает модель Эйнштейна, потому что эти длинноволновые моды могут вносить значительный вклад в теплоемкость даже при очень низких температурах.

как указано в этой ссылке.

Там также говорится, что:

такой подход разумен, потому что единственные моды, которые действительно имеют значение при низких температурах, — это длинноволновые моды, т. е. те, длины волн которых значительно превышают межатомное расстояние. Вполне вероятно, что эти моды не особенно чувствительны к дискретной природе твердого тела: то есть к тому факту, что оно состоит из атомов, а не является непрерывным.

Вопрос 1

Я не понимаю, почему важны только длинные волны. Почему вибрации должны заботиться о том, является ли твердое тело дискретным или непрерывным? Почему фононам нужно, чтобы соседние атомы были ближе, чем длина волны их колебательной частоты?

Он продолжает:

Подход Дебая состоит в аппроксимации фактической плотности нормальных мод$\sigma(\omega)$по плотности в сплошной среде$\sigma_c(\omega)$, не только на низких частотах (длинных волнах), где они должны быть почти одинаковыми, но и на более высоких частотах, где они могут существенно различаться. Предположим, что мы имеем дело с твердым телом, состоящим из$N$атомы. Мы знаем, что есть только$3\,N$независимые нормальные режимы. Отсюда следует, что мы должны обрезать плотность состояний выше некоторой критической частоты,$\omega_D$скажем, иначе у нас будет слишком много режимов

вопрос 2

Теоретически, почему у нас не может быть «слишком много модусов», кроме того факта, что экспериментальные данные говорят об обратном? Может быть, это наивный вопрос, но мне все еще нужна интуиция для ОТРЕЗКИ, которую решил вызвать Дебай.

Он также говорит:

частота Дебая зависит только от скорости звука в твердом теле и числа атомов в единице объема. Длина волны, соответствующая частоте Дебая, равна$2\pi\,c_s/\omega_D$($c_s$— скорость звука в твердом теле), что явно порядка межатомного расстояния$a\sim (V/N)^{1/3}$. Отсюда следует, что отсечка нормальных мод, частоты которых превышают частоту Дебая, эквивалентна отсечке нормальных мод, длины волн которых меньше межатомного расстояния. Конечно, физически логично, что такие моды должны отсутствовать.

Вопрос 3

Опять же, почему? Почему это имеет физический смысл?

Я посмотрел вокруг больше и нашел эту бумагу. На странице 5 внизу написано:

Температура, при которой коллективное или акустическое колебание переходит в независимое тепловое колебание, называется температурой Дебая.

А температура Дебая прямо пропорциональна частоте среза Дебая.

Вопрос 4

Почему мы должны проводить эту грань между акустическими и независимыми тепловыми колебаниями? Разве тепловые колебания тоже не могут дать вклад в теплоемкость твердого тела?