Определение энергии в специальной теории относительности

Question

Определение энергии в специальной теории относительности

Ламми

Я выполняю ранние домашние задания по курсу специальной теории относительности и немного запутался насчет энергии. Я получил общее представление о том, что такое 4-импульс, определив его как $m\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}$ , и показано, что это равно $m\gamma (|\vec{v} |)(c,\vec{v})$ где $\vec{v}$ - классическая скорость в инерциальной системе отсчета, связанная с указанными выше декартовыми координатами.

Теперь одно из моих заданий началось со слов

Обозначим компоненты $p^{\mu}$ как $(E/c, \vec{p})$ ...

Я не понимаю, почему временная составляющая 4-вектора обозначается как $E/c$ . Вы не можете просто произвольно обозначать количества другими количествами! Так что мне остается только гадать, является ли это определением релятивистской энергии или следует из какого-то другого результата специальной теории относительности?

Спасибо за любые разъяснения.

Хавьер

Хорошо,

γ m c^{2}

$\gamma m c^2$ есть релятивистская энергия. Это можно доказать несколькими способами, в зависимости от вашего уровня.

dmckee --- котенок экс-модератор

Теперь подумайте о нулевом (или четвертом, в зависимости от принятого в вашей книге соглашении) вектора, с которым вы работаете. Интерпретация уже ясна? Если вам еще не показали энергию, необходимую для ускорения массы?

пользователь41976

Вы также можете рассмотреть единицы измерения.

Граф Иблис

Вы также можете рассмотреть способ определения импульса в специальной теории относительности, чтобы он стал сохраняющейся величиной. Затем вы можете рассмотреть, как это преобразуется при преобразованиях Лоренца, и эти преобразования могут быть записаны ковариантным образом в терминах 4-импульса, так что последние 3 компонента являются компонентами импульса. Отсюда немедленно следует, что сохраняется и нулевая компонента.

Ответы (3)

Определение энергии в специальной теории относительности

Хорошо, $\gamma m c^2$ есть релятивистская энергия. Это можно доказать несколькими способами, в зависимости от вашего уровня.
Теперь подумайте о нулевом (или четвертом, в зависимости от принятого в вашей книге соглашении) вектора, с которым вы работаете. Интерпретация уже ясна? Если вам еще не показали энергию, необходимую для ускорения массы?
Вы также можете рассмотреть единицы измерения.
Вы также можете рассмотреть способ определения импульса в специальной теории относительности, чтобы он стал сохраняющейся величиной. Затем вы можете рассмотреть, как это преобразуется при преобразованиях Лоренца, и эти преобразования могут быть записаны ковариантным образом в терминах 4-импульса, так что последние 3 компонента являются компонентами импульса. Отсюда немедленно следует, что сохраняется и нулевая компонента.

Дэвид З. · Answer 1

Дэвид З.

Возможно, в вашей книге вещи трактуются несколько иначе, чем обычно. Обычный способ — определить четырехвектор импульса как комбинацию $(E/c, \vec{p})$ , где $E$ уже известно, что это полная энергия (то, что сводится к $mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ для $v\ll c$ ), а затем продолжайте показывать, что он удовлетворяет свойствам, ожидаемым от четырехмерного вектора. Но похоже, что в вашей книге четыре импульса определяются через $m\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}$ , так что вы знаете, что он с самого начала удовлетворяет свойствам, ожидаемым от четырехвектора, а затем они заставят вас доказать, что временная составляющая этого четырехвектора имеет предел низкой скорости $mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ .

Вероятно, они используют обозначение $E/c$ наводит на размышления, но на данном этапе это просто произвольное обозначение, то есть они не намерены $E$ означать энергию еще. Если вы предпочитаете, вы можете использовать $p_t$ или что-то взамен, пока вы на самом деле не покажете, что она равна полной энергии, деленной на $c$ .

Ламми

Спасибо за ответ! Вы правы: я смотрел вперед, и именно это они и сделали. После показа того

E ≅ m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}

$E\cong mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ в пределе

v << c

$v<<c$ , они пишут "мы обнаружили, что

E

$E$ есть энергия». Но разве нет целой группы функций, нижний предел скорости которых — классическая энергия? Должна быть веская причина для определения энергии как

m c^{2} γ

$mc^2\gamma$

Дэвид З.

Да, я упустил эту деталь для простоты, но показываю, что

E

$E$ имеет этот предел низкой скорости, недостаточно, чтобы доказать, что это энергия. Но настоящее доказательство немного сложнее; что это влечет за собой, будет зависеть от того, что вы принимаете за фундаментальное определение энергии. Например, вы могли бы потребовать, чтобы это была сохраняющаяся величина для определенного класса физических систем, или вы могли бы определить его как значение гамильтониана, или вы могли бы определить его как вещь, которая преобразуется как временная составляющая четырехвекторного уравнения. и равен

m c^{2}

$mc^2$ в остальных кадрах и т.д.

Дэвид З.

Между прочим, все эти определения эквивалентны (за исключением, может быть, некоторых очень странных физических систем), но то, как вы проводите доказательство, зависит от того, какое определение вы выберете.

пользователь12262

@DavidZ: " [...] или определить это как вещь, которая преобразуется как временная составляющая четырехвектора и равна $mc^2$ в системе покоя » -- Дает ли это уникальное определение «энергии»? Будет ли причина (кроме «привычки») отвергать, например,

\tilde{Е} [в] "=" \frac{м с^{4}}{\sqrt{с^{4} - | в |^{4}}},

$\tilde E[ \mathbf v ] := \frac{m~c^4}{\sqrt{ c^4 - | \mathbf v |^4 }},$ вместе с какой-нибудь подходящей "космической частью"

\tilde{п} [в] "=" \frac{м с^{2} | в | в}{\sqrt{с^{4} - | в |^{4}}}

$\tilde{ \mathbf p}[ \mathbf v ] := \frac{m~c^2~| \mathbf v |~\mathbf v}{\sqrt{ c^4 - | \mathbf v |^4 }}$ ? (OTOH, эти компоненты вообще составляют законный 4-вектор ? ...)

Дэвид З.

@user12262 user12262 правда, это не было бы уникальным. Я имел в виду, что пространственные компоненты также должны были бы свести к нерелятивистскому импульсу в пределе низких скоростей. Этого может быть достаточно, чтобы однозначно определить энергию (хотя я не уверен навскидку).

пользователь12262

@DavidZ: « Я имел в виду, что пространственные компоненты также должны были бы уменьшиться до нерелятивистского импульса в пределе низких скоростей. Этого может быть достаточно, чтобы однозначно определить энергию (хотя я не уверен навскидку). " - - Я мог бы придумать (не совсем навскидку), например,

\tilde{Е} [в] "=" м \sqrt{с^{2} + | в |^{2}},

$\tilde E[ \mathbf v ] := m~\sqrt{c^2+|\mathbf v|^2},$

\tilde{п} [в] "=" м в .

$\tilde{\mathbf p}[ \mathbf v ] := m~\mathbf v.$ Во всяком случае, я имею в виду сначала найти строгое обоснование физических понятий, затем оценить возможные пределы и только потом рассмотреть их отношение к возможным историческим предрассудкам.

пользователь12262 · Answer 2

Я не понимаю, почему временная составляющая 4-вектора [ $m~\gamma(|\vec v|)~(c, \vec v)$ ] обозначается как $E/c$ .

Таким образом, основной вопрос состоит из двух частей:
почему «энергия» вообще считается компонентом времени некоторого 4-вектора? и почему это конкретное выражение компонента времени среди компонентов времени всех различных 4-векторов, которые можно вообразить?
(Где мы, очевидно, имеем в виду «энергию чего-то, что характеризуется $m$ ", "по отношению к системе или системе отсчета , которые определили значение $|\vec v|$ этого чего-то».)

Подходящим общим и легко применимым определением (как измерить) «энергии», по-видимому, является «временная составляющая генератора переводов»
(или «генератор последовательности»; наряду с определением того, как измерять соответствующие пространственные компоненты, а именно импульс как "генератор переводов" ):

\hat{Е} :≃ \frac{г}{г т} [] .

$\hat E :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ ~ \big].$

Применение этого оператора к $\tau(\vec v)$ (к чему еще?) получается (по моему наивному расчету):

\hat{Е} [т (\vec{в})] :≃ \frac{г}{г т} [т \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{в} |}{с})}^{2}}] "=" \frac{г}{г т} [т \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{Икс} |}{с т})}^{2}}] "="

$\hat E\big[ \tau(\vec v) \big] :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } \big] := \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } \big] =$

"=" \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{Икс} |}{с т})}^{2}} - \frac{\frac{т}{(- т^{3})} {(\frac{| \vec{Икс} |}{с^{2}})}^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{Икс} |}{с т})}^{2}}} "=" \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{Икс} |}{с т})}^{2}}} "=" \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{в} |}{с})}^{2}}},

$= \sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } - \frac{\frac{t}{(-t^3)}~\left(\frac{|\vec x|}{c^2}\right)^2}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } } = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } } = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } },$

где очевидно $|\vec v| := |\vec x| / t$ .

Аналогичное упражнение с одной компонентой оператора импульса $\hat p_x :\simeq \frac{d}{dx}\!\!\big[ ~ \big]$ приводит к:

{\hat{п}}_{Икс} [т (\vec{в})] :≃ \frac{г}{г т} [т \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{в} |}{с})}^{2}}] "=" \frac{г}{г т} [т \sqrt{1 - \frac{{Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}}{(с т)^{2}}}] "="

$\hat p_x\!\big[ \tau(\vec v) \big] :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } \big] := \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \frac{x^2 + y^2 + z^2}{(c~t)^2} } \big] =$

"=" - \frac{т Икс}{(с т)^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{{Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}}{с т})}^{2}}} "=" \frac{- Икс}{т с^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{{Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}}{с т})}^{2}}} "=" - \frac{в_{Икс}}{с^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{в} |}{с})}^{2}})},

$= -\frac{t~x}{(c~t)^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{c~t} \right)^2 } } = \frac{-x}{t~c^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{c~t} \right)^2 } } = -\frac{v_x}{c^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } )},$

с $x$ , $y$ , $z$ обозначая расстояния в трех ортогональных направлениях, разумеется, в плоском пространстве.

С подходящими константами пропорциональности

\hat{Е} "=" м с^{2} \frac{г}{г т} []

$\hat E := m~c^2~ \frac{d}{dt}\!\!\big[ ~ \big]$ и

{\hat{п}}_{Икс} "=" м с^{2} \frac{г}{г Икс} [], {\hat{п}}_{у} "=" м с^{2} \frac{г}{г у} [], {\hat{п}}_{г} "=" м с^{2} \frac{г}{г г} []

$\hat p_x := m~c^2~ \frac{d}{dx}\!\!\big[ ~ \big], \,\,\, \hat p_y := m~c^2~ \frac{d}{dy}\!\!\big[ ~ \big], \,\,\, \hat p_z := m~c^2~ \frac{d}{dz}\!\!\big[ ~ \big]$

потом вместе

(\frac{1}{с^{2}} (\hat{Е})^{2} - ({\hat{п}}_{Икс})^{2} - ({\hat{п}}_{у})^{2} - ({\hat{п}}_{г})^{2}) [т (\vec{в})] "=" (м с)^{2}

$\left( \frac{1}{c^2} (\hat E)^2 - (\hat p_x)^2 - (\hat p_y)^2 - (\hat p_z)^2 \right)\!\big[ \tau(\vec v) \big] = (m~c)^2$

результат, очевидно, не зависящий от $\vec v$ , следовательно, инвариантная характеристика «чего-то», чьи компоненты энергии и импульса определялись; и $(\frac{E}{c}, \vec p)$ является соответствующим 4-векторным выражением.

Все это относится к простейшему случаю, когда «нечто», характеризуемое инвариантом $m$ бесплатно". Если вместо этого в рассмотрение входит «потенциал», то инвариант скорее выражается как

(\frac{1}{с^{2}} (\hat{Е} - д А_{т})^{2} - ({\hat{п}}_{Икс} - д А_{Икс})^{2} - ({\hat{п}}_{у} - д А_{у})^{2} - ({\hat{п}}_{г} - д А_{г})^{2}) [т (\vec{в})] "=" (м с)^{2},

$\left( \frac{1}{c^2} (\hat E - q~A_t)^2 - (\hat p_x - q~A_x)^2 - (\hat p_y - q~A_y)^2 - (\hat p_z - q~A_z)^2 \right)\!\big[ \tau(\vec v) \big] = (m~c)^2,$

где $\mathbf A := (\frac{A_t}{c}, \vec A)$ является подходящим 4-векторным потенциалом (компоненты которого, в свою очередь, могут быть выражены как производные подходящей «фазовой функции» $\alpha( \mathbf x )$ ), и $q$ представляет собой «заряд».

Спасибо за ответ! Я знал, что энергия и импульс являются операторами в квантовой механике, но я еще не видел их в качестве операторов в чем-либо другом — мне может потребоваться некоторое время, чтобы понять это.
@James Machin: " Спасибо за ответ! " -- Конечно; спасибо, в свою очередь, за вопрос. " [...] мне может понадобиться некоторое время, чтобы прийти в себя " -- Я тоже ...

Кэри Р. Карлсон · Answer 3

Без исчисления Специальная теория относительности рассматривается в полностью дискретной теории «каузальных множеств». Эйнштейн предположил, что дискретная теория пространства-времени может обеспечить внутреннюю метрику, в то время как континуум требует, чтобы метрика была наложена как дополнение к пространству-времени. В теории причинных множеств многообразие формулируется только в терминах времени, из теории исключаются примитивные пространственные отношения. (В случае успеха это будет первая редукция параметров в физике со времени первоначальной редукции Ньютона.) Я заметил, что на диаграмме причинно-следственного множества из трех стрелок формируются отношения частот, полезные для определения отношений энергий в соответствии с планковским E=hf. . «Причинная связь», или дискретный временной переход, подразумевается как квант энергетических отношений или просто квант энергии. Здесь мы имеем структурное определение энергии и ее кванта только в терминах времени, проиллюстрированное в простейшем случае временной диаграммой из трех стрелок. Таким образом, у нас есть перспектива свести пространство, время и энергию к каузальным множествам, которые являются просто формациями, порожденными чистой временной последовательностью. См. «Причинно-множественная теория и происхождение отношения масс».http://vixra.org/pdf/1006.0070v1.pdf

Полное раскрытие: вы являетесь автором связанной статьи.

Определение энергии в специальной теории относительности

Ламми

Хавьер

dmckee --- котенок экс-модератор

пользователь41976

Граф Иблис

Ответы (3)

Дэвид З.

Ламми

Дэвид З.

Дэвид З.

пользователь12262

Дэвид З.

пользователь12262

пользователь12262

Ламми

пользователь12262

Кэри Р. Карлсон

Брэндон Энрайт

Импульс и пространство-время

Релятивистские формулы для энергии и импульса?

Действительно ли уравнение энергии-импульса Эйнштейна E2=p2c2+m20c4E2=p2c2+m02c4E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4 справедливо только для свободных частиц?

Импульс от поглощения фотона? Есть ли увеличение массы покоя?

Вывод 000-компоненты 4-импульса с использованием релятивистского лагранжиана

Энергия сочетается со временем, а Импульс с пространством как в QM, так и в SR. Есть ли здесь какие-либо связи?

Вывод E=pcE=pcE=pc для безмассовой частицы?

Является ли E=p0E=p0E = p^0 в неинерциальных системах отсчета?

Почему у Energy-Momentum особый случай?

Обоснование Pphoton=E/cPphoton=E/cP_{\text{photon}}=E/c при выводе E=mc2E=mc2E=mc^2