Сопряжение сопряженного оператора

Учитывая векторное пространство над${\mathbb C}$с внутренним продуктом$\langle,\rangle$прилегающий$O^\dagger$оператора$O$определяется требованием

$$\langle u,O v\rangle=\langle O^\dagger u, v\rangle~.$$ Теперь возьмем комплексное сопряжение обеих сторон. С использованием $\langle u,v\rangle^* = \langle v,u\rangle$, мы нашли $$\langle O v , u\rangle=\langle v , O^\dagger u\rangle~.$$ Однако по определению $$\langle v , O^\dagger u\rangle = \langle (O^\dagger)^\dagger v , u\rangle~.$$ Таким образом, $$O = (O^\dagger)^\dagger ~.$$

Мы можем определить сопряженный оператор$A$как бы$A^\dagger$такой, что

$$\langle A f_1,f_2\rangle = \langle f_1,A^\dagger f_2 \rangle$$

с$\langle \cdot,\cdot\rangle$являющийся скалярным произведением на соответствующем гильбертовом пространстве. Теперь, если у нас есть$(A^\dagger)^\dagger$то это сопряжение оператора$A^\dagger$и поэтому,

$$\langle A^\dagger f_1,f_2 \rangle = \langle f_1,(A^\dagger)^\dagger f_2\rangle$$

является его определяющим свойством. В поле вещественных чисел мы имеем, что скалярный продукт симметричен, поэтому мы можем написать:

$$\langle A^\dagger f_1,f_2 \rangle = \langle f_2, A^\dagger f_1\rangle = \langle Af_2,f_1\rangle.$$

Это зависит исключительно от определения сопряжения$A$. Затем мы можем определить, сравнивая со вторым уравнением, что$A = (A^\dagger)^\dagger$и доказательство закончилось$\mathbb C$похож. Обратите внимание, что в отношении этого свойства есть оговорка, а именно я считаю, что инволютивность гарантируется для ограниченных операторов.