Эрмитовость оператора Дирака в искривленном пространстве-времени

Лагранжиан Дирака в искривленном пространстве-времени обычно задается выражением

л "=" я Ψ ¯ γ а е а мю ( ∂ мю + 1 4 ю мю б с γ б γ с ) Ψ
Согласно разделу 7.10.3 Накахара «Геометрия, топология и физика». этот лагранжиан не является эрмитовым, но мы можем переписать его в эрмитовой форме как
л ′ "=" 1 2 ( л + л † ) "=" я Ψ ¯ γ а е а мю ∂ ↔ Ψ + 1 4 е а мю ю мю б с Ψ ¯ { γ а , γ б с } Ψ
с точностью до полной производной. Я понимаю, почему это верно для производного члена, но я действительно не понимаю, как это можно сделать для второго члена. я пытаюсь ездить γ а с γ б с "=" 1 2 [ γ б , γ с ] как-нибудь, если б , с ≠ а тогда это легко { γ а , γ б с } "=" γ а γ б с и второй член восстанавливается. Но проблема в том, если а "=" б ≠ с затем { γ а , γ б с } "=" 0 . Я не понимаю, как мы можем восстановить такой термин, как е а мю ю мю а с γ а γ а γ с в исходном лагранжиане (без суммирования в а ). Итак, мой вопрос:

  • Как показать, что два лагранжиана одинаковы? (или, что то же самое, как мне показать, что л "=" л † с точностью до полной производной).
  • Если л и л ′ на самом деле не совпадают с точностью до полной производной (то есть еще одна опечатка в Накахаре). Тогда какой из них я использую в качестве лагранжиана для частицы со спином 1/2 в искривленном пространстве-времени? Я видел, как люди используют первый, который также воспроизводит уравнение Дирака в источнике, таком как Википедия http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation_in_curved_spacetime . Лагранжиан использовался без перезаписи в эрмитовой форме в таких местах, как уравнение «Супергравитации» Фридмана (9.1). Или, например, на http://arxiv.org/abs/hep-th/0604198 .

Я надеялся, что е б мю ю мю б с "=" ю б б с был бы равен 0 из-за некоторых антисимметричных свойств ю . Но это, по-видимому, неверно, только два последних индекса ю являются антисимметричными. Я предполагаю, что есть причина, по которой эти два лагранжиана в конечном итоге дадут одну и ту же теорию поля, но я просто не понимаю почему. Может кто-нибудь объяснить мне?

Кстати, извините, если этот вопрос кажется очень похожим на оператор Дирака в искривленном пространстве-времени в двух измерениях — эрмитов? . Я читал эту запись, но, похоже, она касается того, почему мы должны переписать ее в эрмитовой форме, а не как. Я также не могу комментировать этот вопрос, потому что моя репутация < 50 видимо.

Ответы (1)

Комментарии к вопросу (v3):

  1. Обратите внимание, что гамма-матрицы ковариантно сохраняются 1

    (1) ∇ мю γ с   "="   ю мю с б γ б + 1 4 ю мю а б [ γ а б , γ с ]   "="   0 , ∇ мю γ ν   "="   0 ,
    ср. например, ссылка 1.

  2. Рассмотрим векторный ток

    (2) Дж мю   "="   ψ ¯ γ мю ψ ,
    где ψ является спинором Дирака.

  3. Дивергенция векторного поля (2) равна

    (3) г я в е Дж   "="   е − 1 г мю ( е Дж мю )   "="   ∇ мю Дж мю   "=" ( 1 )   ψ ¯ ( ∇ мю ← γ мю + γ мю ∇ мю ) ψ .

  4. Теперь определим плотность Лагранжа

    (4) л   "="   я е ψ ¯ γ мю ∇ мю ψ ,
    и явно реальная лагранжева плотность
    (5) л ′   "="   1 2 л + с . с .   "="   я е 2 ψ ¯ ( γ мю ∇ мю − ∇ мю ← γ мю ) ψ .

  5. Разница является полной пространственно-временной производной

    (6) л − л ′   "="   я е 2 ψ ¯ ( ∇ мю ← γ мю + γ мю ∇ мю ) ψ   "=" ( 3 )   г мю ( я е 2 Дж мю ) ,
    поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа. для л и л ′ одинаковы.

Использованная литература:

  1. Д. З. Фридман и А. Ван Пройен, SUGRA, 2012; экв. (8.37) с. 180 Упражнение 8.12.

--

1 Я использую те же обозначения и условные обозначения, что и в моем ответе Phys.SE здесь .

Большое спасибо. Я совсем забыл тот факт, что ∇ мю γ ν "=" 0
Эрмитовость оператора Дирака в искривленном пространстве-времени
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v