Основной целью тетрадного формализма является применение принципа действия в общей теории относительности. Но зачем объединять общую теорию относительности с теорией поля частицы с полуцелым спином?
С одной стороны, материальные поля с целочисленным спином могут быть связаны с гравитацией через метрический тензор (и связь Леви-Чивиты) без использования вильбейна ( он же вирбейн или тетрада в 4D).
С другой стороны, материальные поля с полуцелым спином нуждаются в фильбейне, чтобы взаимодействовать с гравитацией геометрически ковариантным образом. Геометрически репер дает нам псевдоортонормированный репер в каждой точке пространства-времени.
Проблема в том, что поле с половинным спином является спинорным и , следовательно, имеет спинорный индекс. Чтобы записать ковариантный кинетический член для спинора, нам нужна ковариантная производная спинора и, следовательно, спиновая связь . Нам также понадобится представление алгебры Клиффорда, т.е. гамма-матрицы. Кроме того, для преобразования между изогнутыми и плоскими индексами на гамма-матрицах нам нужен vielbein. См., например, ур. (1) в моем ответе Phys.SE здесь для явных формул.
Аналогичная история для полей с более высоким полуцелым спином, таких как, например, спин Рариты-Швингера. поле.
Основной целью тетрадного формализма является применение принципа действия в общей теории относительности.
Что ж, принцип действия в общей теории относительности не нуждается в тетрадном формализме. Это физический и математический побочный продукт принципа локальной ковариации, т. е. вблизи любой точки искривленного пространства-времени действуют законы специальной теории относительности. Другими словами, для малой кривизны мы иногда можем рассматривать метрический тензор как возмущение вокруг пространства-времени Минковского. Это влечет за собой возможность локального использования спиноров, как объяснено ниже.
Но зачем объединять общую теорию относительности с теорией поля частицы с полуцелым спином?
Чтобы изучить теорию https://en.wikipedia.org/wiki/Supergravity , нужно сделать два шага. Первый состоит в том, чтобы «деформировать» ОТО в квазиклассическую теорию, т. е. допустить возможность того, что материя в ОТО также будет фермионной (через обычную «классическую КТП»). Для этого нужно использовать принцип локальной ковариации, чтобы обеспечить переход от искривленного пространства-времени к плоским окрестностям. Таким образом, в картину могут войти «классические» спиноры (Дирак или Вейль), и можно изучать их динамику в искривленном пространстве-времени. Второй шаг состоит в том, чтобы разрешить суперсимметрию, т. е. возможность того, что локальная симметрия Пуанкаре/Лоренца, допускаемая локальной ковариантностью, может быть расширена до общей алгебры суперсимметрии.
Хари