Если бы у нас был «совершенно эффективный» компьютер и вся доступная энергия Млечного Пути, до какого числа он мог бы считать?

«Совершенно эффективный» компьютер может означать многое, но для целей этого ответа давайте примем его за обратимый компьютер (объясняется далее по ходу дела).

Теоретически нижним пределом энергетических потребностей в вычислениях является предел Ландауэра , который утверждает, что забвение одного бита информации требует ввода работы, равной$k\,T\,\log 2$чтобы соблюсти второй закон термодинамики. Если компьютер является обратимым, т . е. о его состоянии в любой момент времени можно вывести его состояние в любое другое время, то нет теоретического нижнего предела его потребности в энергии. Под состоянием здесь мы подразумеваем компьютерное теоретическое состояние ЦП, а не физическое квантовое состояние (первое является очень малой частью второго; микроскопические законы обратимы, так что полное квантовое состояние в любой момент времени теоретически может быть выведено из полное квантовое состояние в любое время). Примером необратимого вычисления является то, когда вы складываете два числа и записываете результат в память, ранее занятую слагаемыми. Два дополнения не могут быть выведены из состояния компьютера ( т.е.сумма) после того, как произошло сложение. Вкратце, причина этой ситуации в том, что если ваш расчет забывает, Природа этого не делает, поэтому, если вы стираете память, то эта «стертая» информация должна каким-то образом оказаться закодированной в полном квантовом состоянии компьютера, поскольку микроскопические законы действительно обратимы. Единственный способ, которым система может «поглощать больше информации», т. е. полностью кодировать свое прошлое в своем квантовом состоянии, — это получать доступ ко все большему и большему количеству квантовых состояний, а это почти всегда означает нагреваться [см. 1]. Итак, в какой-то момент вам нужно добавить энергию, чтобы это произошло, и в конечном итоге вам нужно будет охлаждать компьютер, чтобы он продолжал работать. Затем второй закон термодинамики показывает, что если мы хотим поддерживать компьютер в постоянном макросостоянии, нам нужно вводить объем работы, предписанный Ландауэром. принцип сделать это[см. 2].

Теперь давайте посмотрим на вашу проблему. Очевидно, что подсчет можно превратить в обратимое вычисление: каждый шаг обратим, и вы можете представить себе, что для достижения этого просто синхронизируют простой цифровой счетчик в обратном направлении. Таким образом, теоретически мы могли бы построить квантовый (или другой обратимый) компьютер, чтобы считать без ввода энергии , пока он считает . Однако при подсчете забывания информации необходимо учитывать инициализацию. То есть вам нужно начать с инициализированных регистров для подсчета. Вы запускаете свою машину, инициализируя их все до нуля ..... но это означает, что существует квантовое состояние каждого регистра, которое «забывается» при инициализации машины. Итак, если вам нужна память о$N$биты для вашего счета, вам нужно придумать$N\,k\,T\,\log 2$джоулей, чтобы инициализировать обратимый компьютер. Википедия говорит мне, что масса Млечного Пути оценивается в$10^{12}$солнечных масс или около$2\times 10^{30}\times 10^{12}\times 10^{17} =2\times 10^{59}$джоули. Если вы можете охладить свой компьютер до температуры космического фонового микроволнового излучения или$2.7{\rm K}$, то предел Ландауэра означает, что вы можете купить инициализацию$2\times 10^{59} / (2.7\times 1.38\times 10^{-23}\times \log 2) \approx 8\times 10^{81}$биты. Вы не можете запустить свой компьютер ниже$2.7{\rm K}$поскольку тогда ему потребуется энергия для искусственного охлаждения ниже его окружающей среды.

Итак, вот ваш грубый ответ: теоретически вы можете сосчитать до числа:

с реверсивной реализацией счетчика с учетом заявленного энергетического бюджета.

Другим пределом, который может представлять интерес с криптографической точки зрения, является предел Бреммермана , который ограничивает, насколько быстро вычисления могут развиваться в их последовательных шагах.

Следует отметить, насколько трудно достичь предела Ландауэра. Если наш счетчик забывает хотя бы один бит за цикл счета, предел снижается до все еще колоссального$2\times 10ˆ{81}$. Йоки [см. ссылку 3] утверждает в первых главах своей книги, что явление репликации ДНК во время клеточного деления, рассматриваемое как компьютерный алгоритм, является наиболее эффективным из известных вычислений и потребляет примерно на порядок больше энергии, чем предел Ландауэра. то есть примерно$10 k\,T$за забытый бит. В свете предела Ландауэра современные компьютеры поразительно неэффективны. 32 ГБ ОЗУ перезаписываются со скоростью 1 ГБ в секунду и потребляют 5 Вт при 300 КБ (это цифры для компьютера, на котором пишутся эти слова) представляют собой забывание, которое на одиннадцать порядков более расточительно ($5 / (8\times 10^9 \times k \times 300\,\log 2)\approx 2\times 10^{11}$), чем предел Ландауэра.

Ссылки и сноски:

[1]: Чтобы углубить ваше понимание этого утверждения, попробуйте вычислить и построить график энтропии Шеннона спецификации состояния ансамбля$N$квантовые гармонические осцилляторы в термодинамическом равновесии как функция температуры (ответ:$\left(\frac{e^{\beta_\omega } \beta_\omega }{1-e^{\beta_\omega }}+\log \left(e^{\beta_\omega }-1\right)\right)/\log (2)$бит на генератор, где$\beta_\omega = \hbar\omega/(k\,T)$). Сразу видно, что происходит: распределение вероятностей Больцмана здесь пропорционально$p(n)\propto\exp\left(-(n+\frac{1}{2}) \frac{\hbar\,\omega}{k\,T}\right)$и хвост становится длиннее, «доступ к большему количеству состояний», как$T$поднимается).

[2] Прекрасным обзором этих концепций является Charles Bennett, "The Thermodynamics of Computation: A Review", Int. Дж. Тео. Phys., 21 , № 12, 1982 г. )

[3] «Теория информации, эволюция и происхождение жизни», Хьюберт П. Йоки . Как человек, не являющийся биологом, я не чувствую себя вправе судить об этом тексте. Однако я чувствовал, что понял первые главы, из которых я почерпнул утверждение об эффективности репликации ДНК, достаточно хорошо, чтобы быть достаточно уверенным в правильности этого утверждения, но я нашел большую часть текста после главы 2 совершенно непонятной.