Перенормировка схемы отсечки и порядок интегрирования в КТП

Question

Перенормировка схемы отсечки и порядок интегрирования в КТП

QuantumEyedea

Ниже приводится результат теоремы Фубини , описывающий, когда вы можете безопасно заменить двойной интеграл повторным интегралом:

Для набора $X \times Y \subset \mathbb{R}^2$ , если $\iint |f(x,y)| d(x,y)$ конечное число, то имеем равенство:

\iint_{Икс \times Д} ф (Икс, у) д (Икс, у) "=" \int_{Икс} [\int_{Д} ф (Икс, у) д у] д Икс "=" \int_{Д} [\int_{Икс} ф (Икс, у) д Икс] д у

$\iint_{X\times Y} f(x,y) d(x,y) = \int_X \left[ \int_Y f(x,y) dy \right] dx = \int_Y \left[ \int_X f(x,y) dx \right] dy$

Таким образом, это говорит нам: мы можем безопасно изменить порядок интегрирования, если интегрирование абсолютного значения подынтегрального выражения дает конечное число.

Если условие не выполняется, то повторные интегралы могут сходиться к разным значениям. Например (как указано в вики) у нас есть следующее:

\int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} \frac{{Икс}^{2} - у^{2}}{({Икс}^{2} + у^{2})^{2}} д Икс] д у "=" - \frac{π}{4} \int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} \frac{{Икс}^{2} - у^{2}}{({Икс}^{2} + у^{2})^{2}} д у] д Икс "=" \frac{π}{4}

$\int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dx \right] dy = - \frac{\pi}{4}\\ \int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy \right] dx = \frac{\pi}{4}$

Перенормировка: когда мы сталкиваемся с расходящимся интегралом Фейнмана, метод перенормировки заключается во введении отсечки, чтобы охарактеризовать, «как» расходится интеграл (например, как логарифм, степенной закон и т. д.). Например; $\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4p}{p^2 - m^2}$ расходится в УФ-излучении и расходится как $\propto \Lambda^2 - m^2 \log\left( \frac{\Lambda^2}{m^2} \right)$ (для $\Lambda \gg m$ УФ-отсечка).

Мой вопрос: что, если у нас есть интеграл Фейнмана, который расходится по-разному в зависимости от порядка, в котором вы его интегрируете?

В качестве примера у меня есть следующий надуманный интеграл:

я "=" \int_{0}^{\infty} д т \int_{0}^{\infty} д Икс \frac{п (Икс)^{2}}{Икс (1 - {Икс}^{2}) (п (Икс)^{2} + т^{2})}

$\mathcal{I} := \int_0^\infty dt \int_0^\infty dx\ \frac{\ln(x)^2}{x(1-x^2)(\ln(x)^2+t^2)}$

Этот интеграл расходится в нескольких местах, но давайте просто рассмотрим, как он расходится вблизи $(t,x) = (0,0)$ .

СЛУЧАЙ I : Интеграция $t$ прочь первым, и мы остаемся с интегралом $\int_0^\infty \frac{dx}{x(1-x^2)|\ln(x)|}$ . Этот интеграл расходится при $x=0$ следующим образом $\propto \ln\left(\ln(\tfrac{1}{x})\right)$ (для $x \approx 0$ ) (вы можете проверить асимптотику этого).

СЛУЧАЙ II Если вы интегрируете $x$ прочь первым (определить новую переменную $q = \ln(x)$ и манипулировать им, чтобы получить $\int_0^\infty \frac{q^2}{(q^2+t^2)^2} = \frac{\pi}{4|t|}$ ), у нас остается интеграл $\int_0^\infty \frac{\pi}{4t}$ , который расходится как $\propto \log(t)$ для $t \approx 0$ .

Итак, мы видим, что интеграл расходится по-разному в зависимости от того, как вы это интегрируете.

Что, если бы кто-то столкнулся с такой ситуацией физически? Не разрешено по какой-то причине? Как нам перенормировать вещи, если способ расходимости нашего интеграла может меняться? Кроме того, что, если переменная, на которую нам нужно наложить отсечку, зависит от порядка интегрирования ? Это кажется очень важным!

Является ли эта ситуация слишком надуманной и не может ли произойти в реальной физически значимой задаче КТП?

СлучайныйПреобразование Фурье

Обратите внимание, что форма расходимостей в исправной КТП очень ограничена (ср. теорему Вайнберга). В любом случае правильный путь — рассмотреть регулируемые теории, в которых все интегралы всегда абсолютно сходятся (чтобы Фубини был в безопасности).

QuantumEyedea

Простите мое невежество, но о какой теореме Вайнберга вы говорите? Это есть в его учебниках QFT?

СлучайныйПреобразование Фурье

Да: глава 12, по сути, является подробным обсуждением возможных форм расходящихся членов в произвольной диаграмме Фейнмана.

Ответы (2)

Перенормировка схемы отсечки и порядок интегрирования в КТП

Обратите внимание, что форма расходимостей в исправной КТП очень ограничена (ср. теорему Вайнберга). В любом случае правильный путь — рассмотреть регулируемые теории, в которых все интегралы всегда абсолютно сходятся (чтобы Фубини был в безопасности).
Простите мое невежество, но о какой теореме Вайнберга вы говорите? Это есть в его учебниках QFT?
Да: глава 12, по сути, является подробным обсуждением возможных форм расходящихся членов в произвольной диаграмме Фейнмана.

Коннор Бехан · Answer 1

Вы спрашиваете, может ли теория возмущений генерировать условно сходящиеся интегралы, и ответ положительный . Комментарий о том, что Фубини безопасен после того, как интеграл сделан конечным, звучит слишком быстро. Да, если вы избегаете регионов, где $\iint |f(x,y)| \, dx dy$ тогда расходится $\iint f(x,y) \, dx dy$ можно сделать в любом порядке. Но это обмен двусмысленности в заказе на двусмысленность в регуляторе. Другими словами, распространенное утверждение, что интегралы можно регулировать любым удобным способом, неверно. Что мы можем сделать, так это регулировать дивергенции любым удобным способом. Один и тот же интеграл может иметь много расхождений одного и того же физического происхождения, и их необходимо последовательно регулировать.

Пример интеграла, о котором я думаю, это

я "=" \int ⟨ ϵ (0) О (Икс) О (у) ϵ (\infty) ⟩ д^{2} Икс д^{2} у .

$I = \int \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(x) \mathcal{O}(y) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2x d^2y.$ Это возникает в двухпетлевой конформной теории возмущений, где мы интерпретируем

O

$\mathcal{O}$ как классический маргинальный оператор. Существуют особенности по мере приближения операторов друг к другу. Но если мы будем держать их на расстоянии

a

$a$ кроме того, коэффициент

\log (a)

$\log(a)$ расходимость этого интеграла имеет приятный физический смысл: это аномальная размерность

ϵ

$\epsilon$ . (Обратите внимание, что здесь я использую отсечку на коротком расстоянии, но это эквивалентно отсечке по большому импульсу, если мы используем преобразование Фурье.) Используя тот факт, что

O

$\mathcal{O}$ является маргинальным, мы можем изменить масштаб на

| y |

$|y|$ и заменить

z = x / | y |

$z = x / |y|$ получить

\begin{aligned} я & "=" \int | у |^{- 4} ⟨ ϵ (0) О (Икс / | у |) О (у / | у |) ϵ (\infty) ⟩ д^{2} Икс д^{2} у \\ "=" 2 π \int \frac{д | у |}{| у |} \int | у |^{- 2} ⟨ ϵ (0) О (Икс / | у |) О (\hat{е}) ϵ (\infty) ⟩ д^{2} у \\ \sim 2 π бревно (а) \int ⟨ ϵ (0) О (г) О (\hat{е}) ϵ (\infty) ⟩ д^{2} г . \end{aligned}

$\begin{align} I &= \int |y|^{-4} \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(x / |y|) \mathcal{O}(y / |y|) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2x d^2y \\ &= 2\pi \int \frac{d|y|}{|y|} \int |y|^{-2} \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(x / |y|) \mathcal{O}(\hat{e}) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2y \\ &\sim 2\pi \log(a) \int \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(z) \mathcal{O}(\hat{e}) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2z. \end{align}$ Этот интеграл появился при исследовании модели Изинга дальнего действия, в которой функция 4pt равна

⟨ ϵ (0) О (г) О (\hat{е}) ϵ (\infty) ⟩ "=" \frac{| 1 + г |^{2}}{4 | г | | 1 - г |^{4}} .

$\langle \epsilon(0) \mathcal{O}(z) \mathcal{O}(\hat{e}) \epsilon(\infty) \rangle = \frac{|1 + z|^2}{4|z| |1 - z|^4}.$ Это имеет расхождение по степенному закону, поскольку

z \to 1

$z \to 1$ и мы не заботимся об этом (помните, что мы только пытаемся получить коэффициент журнала), но здесь возникает тонкость. Чтобы добавить контрчлен, который перенормирует это, нам нужно сначала изолировать дивергенцию с помощью регулятора. И это уже сдерживается тем, что мы делали раньше. Чтобы получить

\log (a)

$\log(a)$ выше, мы вытащили

2 π

$2\pi$ с полярными координатами, что означает, что у нас была круговая отсечка. Делая это для

y \to 0

$y \to 0$ означает, что мы также должны сделать это для

z \to 1

$z \to 1$ . Итак, теперь мы, наконец, добрались до

Дж "=" \int \frac{1}{| 1 - г |^{4}} (\frac{| 1 + г |^{2}}{4 | г |} - 1) д^{2} г

$J = \int \frac{1}{|1 - z|^4} \left ( \frac{|1 + z|^2}{4|z|} - 1 \right ) d^2z$ который включает в себя контртермин. Если бы кто-то установил

z = r e^{i θ}

$z = re^{i\theta}$ и разделить его как

\int д^{2} г \to \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} р д р д θ + \int_{1}^{\infty} \int_{0}^{2 π} р д р д θ

$\int d^2z \to \int_0^1 \int_0^{2\pi} rdrd\theta + \int_1^\infty \int_0^{2\pi} rdrd\theta$ относительно просто подтвердить, что результат

\frac{π}{4}

$\frac{\pi}{4}$ . Но игнорируя меру нулевой области

{r = 1}

$\{ r = 1 \}$ как это означает, что мы приближаемся к

z = 1

$z = 1$ сингулярность с разной скоростью в зависимости от угла, тем самым нарушая предписание круговой отсечки. Так что мы должны скептически относиться к этому

\frac{π}{4}

$\frac{\pi}{4}$ . Вместо этого попробуйте заменить другие полярные координаты, определенные

1 - z = ρ e^{i ϕ}

$1 - z = \rho e^{i\phi}$ а затем интегрировать численно. Ответ может вас удивить!

О, и в случае, если это кажется эзотерическим, результаты для этого аномального измерения (которые благоприятствуют $1 - z = \rho e^{i\phi}$ заказа) были найдены с Монте-Карло .

Ле Зунг · Answer 2

Обычно при вычислении интегралов Фейнмана мы выполняем поворот Вика так, чтобы:

\int ф (п^{2}) д^{4} п \to \int ф (п_{Е}^{2}) д^{4} п_{Е}

$\int f(p^2)d^4p\rightarrow\int f(p_E^2)d^4p_E$ где:

p^{2} = p_{0}^{2} - {\vec{p}}^{2}

$p^2 = p_0^2-\vec{p}^2$ ,

p_{E}^{2} = p_{0}^{2} + {\vec{p}}^{2}

$p_E^2 = p_0^2+\vec{p}^2$ , затем выполните интегрирование в 4-мерном евклидовом пространстве, используя 4-мерный телесный угол:

d^{4} p_{E} = p_{E}^{3} d Ω_{4}

$d^4p_E = p_E^3d\Omega_4$ , где

p_{E}

$p_E$ является нормой в 4-мерном пространстве, имеющей смысл энергии.

Функция в интеграле Фейнмана с $p_E$ симметричен относительно $p_0$ и $\vec{p}$ , так что я думаю, что здесь не нужно беспокоиться о теореме Фубини.

Я думаю, что следует беспокоиться о членах взаимодействия на диаграммах Фейнмана и о том, интегрируете ли вы сначала импульс частицы 1 или импульс частицы 2. Я не знаю ни одного случая, подобного тому, что цитирует ОП, но их, безусловно, можно представить.
Да, именно об этой ситуации я и думал. Кроме того, однажды я попытался выполнить некоторые интегралы петли положение-пространство в искривленном пространстве-времени, и там функции были очень странными (потому что я использовал координаты, отличные от Минковского), и, если я помню, именно здесь я подумал, что это может быть проблемой.

Перенормировка схемы отсечки и порядок интегрирования в КТП

QuantumEyedea

СлучайныйПреобразование Фурье

QuantumEyedea

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (2)

Коннор Бехан

Ле Зунг

Джерри Ширмер

QuantumEyedea

Расходящаяся петля Фейнмана в импульсном пространстве — как описать ее в пространстве положений?

Эта однопетлевая диаграмма для теории ϕ4ϕ4\phi^{4} - перенормировка и переход в позиционное пространство

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Как получить конечный ответ после применения размерной регуляризации в КЭД?

Диаграммы головастиков в массивных скалярных амплитудах с 1 петлей?

Ренормализационная группа и суммирование диаграмм

Как доказать эквивалентность РГ-потока константы связи КТП и диаграммного пересуммирования при фиксированном масштабе перенормировки?

Однопетлевая теория ϕ4ϕ4\phi^4 в d=3d=3d = 3

Диаграммы головастиков в теории ϕ3ϕ3\phi^3

Renorm напряженности поля в Peskin&Schroeder