Эволюция волнового пакета во времени

Уравнение, которое вы дали, является не зависящим от времени уравнением Шрёдингера. Зависящее от времени уравнение Шредингера имеет вид

$$i \hbar \dot{\psi} = H \psi$$ которую вы можете легко решить, чтобы получить зависимость от времени (когда $\psi$является собственным состоянием), которое вы просили в вопросе. В более общем случае вы можете решить это, чтобы показать, что $\exp\left(-i\hat{H}t/\hbar\right)$является генератором временной эволюции, т. е. оператором, принимающим $\psi(t=0)\mapsto\psi(t)$.

Решение зависящего от времени SE, как упомянул выше danielsmw, является хорошей отправной точкой.

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi$$
$$\frac{d\psi}{\psi}=\frac{H}{i\hbar}dt$$ $$log(\psi)\mid^{\psi}_{\psi_{0}}=-\frac{iHt}{\hbar}\mid^{t}_{t_0}$$ предполагать $\psi=|\alpha,t>$и $\psi_{0}=|\alpha, t_{0}>$ $$\psi=e^{-\frac{iH(t-t_{0})}{\hbar}}\psi_0$$ При бесконечно малых изменениях времени (dt) оператор эволюции времени $$lim_{dt\to 0}U(t_{0}+dt, t_{0})=1$$ $$U(t_{0}+dt, t_{0})=1-iGdt$$ для $G=\frac{H}{\hbar}$, $$U(t_{0}+dt, t_{0})=1-i\frac{H}{\hbar}dt \sim exp(-i\frac{H}{\hbar}dt )$$ В качестве хорошего руководства я настоятельно рекомендую JJSakurai Chapter 2.