Рассматривая уравнение Шредингера как обыкновенное дифференциальное уравнение

Как именно я могу интерпретировать уравнение в этой форме?

Чтобы развить теорию решений и в общем случае, интерпретируют нестационарное уравнение Шредингера

я г г т ψ ( т ) "=" ЧАС ψ ( т )
как обыкновенное дифференциальное уравнение для вектор-функции ψ : р т → ЧАС "=" л 2 ( р Н г ) . Однако, поскольку ЧАС не является ограниченным линейным оператором на ЧАС , эта теория оказывается гораздо более тонкой, чем теория линейных ОДУ на конечномерных пространствах. Эти соображения приведут нас к спектральной теореме для неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах, одному из центральных математических результатов, обсуждаемых в этом курсе.

Так что мы относимся ψ как кривая в Н г -мерное пространство, таким образом получая решение для ψ ( т ) , но как мы могли игнорировать всю позиционную зависимость?

Что Н и что такое г ? Также обратите внимание, что уравнение Шредингера не обязательно включает позицию, просто обычно рассматривается с точки зрения позиции, и именно это мы видим чаще всего.
Н количество частиц, г размер пространства
Я не очень хорошо это понимаю, судя по моей интуиции, волновая функция должна зависеть от положения, поэтому я не знаю ... может быть, есть ссылка, которую я могу прочитать?
@ khaled014z Волновая функция позиционного пространства зависит от положения, но, например, волновая функция импульсного пространства не зависит.

Ответы (1)

ψ это кривая через ЧАС "=" л 2 ( р Н г ) , не через р Н г сам. То есть для каждого т е р у нас есть это ψ ( т ) е л 2 ( р Н г ) свободно ‡ функция, интегрируемая с квадратом.

Вы должны быть осторожны, чтобы различать ψ , которая является кривой через ЧАС , и ψ ( т ) , который является элементом ЧАС кривая проходит через время т . ψ это функция одной переменной, которая съедает время т и выплевывает вектор ψ ( т ) , которая сама является интегрируемой с квадратом функцией. Это не имело бы никакого смысла для ψ принять позицию в качестве входных данных - что бы это вообще значило? Вместо этого это ψ ( т ) - которая часто интерпретируется как функция положения (т.е. волновая функция позиционного пространства) - которая может принимать положение как входную переменную.

Чтобы сделать это явным, мы могли бы использовать такие обозначения, как [ ψ ( т ) ] ( Икс ) , что дает понять, что т е р это число, которое мы вставляем в ψ чтобы получить функцию ψ ( т ) е л 2 ( р Н г ) , и Икс е р Н г это вектор, в который мы подключаемся ψ ( т ) чтобы получить номер [ ψ ( т ) ] ( Икс ) е С . Это обозначение — предмет кошмаров, поэтому лично я предпочитаю символ ψ т ( Икс ) вместо.

В большей части педагогической литературы авторы стремятся замести эту дискуссию под ковер и просто пишут: ψ ( т , Икс ) ; однако я считаю, что это затемняет различие между пространством и временем, которое происходит в нерелятивистской квантовой механике, и приводит к глубоким недоразумениям .

Когда мы записываем уравнение Шредингера, нам нужно тщательно интерпретировать термины. В моих предпочтительных обозначениях:

  • ψ является вектор-функцией одной переменной, и ψ ′ является его векторной производной
  • ψ т и ψ т ′ являются векторами в ЧАС которые получаются в результате оценки ψ и ψ ′ вовремя т
  • ЧАС это линейный оператор, который съедает вектор и выплевывает другой вектор

⟶ я ℏ ψ т ′ "=" ЧАС ( ψ т )

‡ Действительно класс эквивалентности функций, где мы отождествляем две функции ф и г как один и тот же элемент л 2 ( р Н г ) если ∫ г Н г Икс | ф ( Икс ) − г ( Икс ) | 2 "=" 0 .

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .
Рассматривая уравнение Шредингера как обыкновенное дифференциальное уравнение
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v