Зависящие от времени и независимые от времени уравнения Шредингера

Question

Зависящие от времени и независимые от времени уравнения Шредингера

предпочтительный_анон

Я пытаюсь понять связь между зависимыми от времени и независимыми от времени уравнениями Шредингера . В частности, мы знаем, что TDSE

ЧАС Ψ "=" я ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial т}

$H\Psi=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$ тогда как независимое уравнение - это проблема собственных значений

ЧАС ψ "=" Е ψ

$H\psi=E\psi$ Мой главный вопрос таков: если мы позволим

Ψ

$\Psi$ быть независимым от времени (что является моей интерпретацией «уравнения, не зависящего от времени»), то почему бы нам просто не получить

H Ψ = 0

$H\Psi=0$ ? Я могу понять, откуда берется проблема собственных значений: предположим, что у нас есть отделимое решение TDSE.

Ψ (x, t) = ψ (x) T (t)

$\Psi(x,t)=\psi(x)T(t)$ . Затем,

Т ЧАС ψ "=" я ℏ \dot{Т} ψ ⟹ я ℏ \frac{\dot{Т}}{Т} "=" \frac{ЧАС ψ}{ψ} "=" Е

$TH\psi=i\hbar \dot{T}\psi \implies i\hbar \frac{\dot{T}}{T}=\frac{H\psi}{\psi}=E$ Для некоторой постоянной

E

$E$ , так что мы получаем

T (t) = A e^{- i E t / ℏ}

$T(t)=Ae^{-iEt/\hbar}$ и

H ψ = E ψ

$H\psi=E\psi$ .

Это интересно, но не совсем отвечает на мой вопрос: почему аргумент, что $H\psi=0$ не работает, а как насчет решений, которые не отделимы?

Храбрость

Почему должен

H ψ

$H\psi$ быть равным нулю? Вы имели в виду

H Ψ = 0

$H \Psi = 0$ ?

предпочтительный_анон

Ну да, но под этим я подразумеваю "почему бы не предположить,

Ψ (x, t) = ψ (x)

$\Psi(x,t)=\psi(x)$ не зависит от времени, приводят к не зависящему от времени уравнению

H ψ = 0

$H\psi=0$ ?"

Кайл Канос

Почему не может быть ненулевого собственного значения, связанного с пространственно-зависимым оператором?

предпочтительный_анон

Конечно , может , но я не понимаю, как в такой ситуации могут возникнуть ненулевые собственные значения. Т.е. превращение зависящего от времени SE в независимое от времени, по-видимому, не дает независимого от времени SE (проблема собственных значений).

Кайл Канос

Думайте линейно алгебраически :

A v = λ v

$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ это общая проблема собственных значений, нет? В КМ,

A \equiv H

$A\equiv H$ ,

ψ \equiv v

$\psi\equiv\mathbf v$ и поэтому,

E \equiv λ

$E\equiv\lambda$ что было бы равно нулю для частных случаев , а не для общего решения.

Ответы (2)

Зависящие от времени и независимые от времени уравнения Шредингера

Почему должен $H\psi$ быть равным нулю? Вы имели в виду $H \Psi = 0$ ?
Ну да, но под этим я подразумеваю "почему бы не предположить, $\Psi(x,t)=\psi(x)$ не зависит от времени, приводят к не зависящему от времени уравнению $H\psi=0$ ?"
Почему не может быть ненулевого собственного значения, связанного с пространственно-зависимым оператором?
Конечно , может , но я не понимаю, как в такой ситуации могут возникнуть ненулевые собственные значения. Т.е. превращение зависящего от времени SE в независимое от времени, по-видимому, не дает независимого от времени SE (проблема собственных значений).
Думайте линейно алгебраически : $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ это общая проблема собственных значений, нет? В КМ, $A\equiv H$ , $\psi\equiv\mathbf v$ и поэтому, $E\equiv\lambda$ что было бы равно нулю для частных случаев , а не для общего решения.

Любопытный Разум · Answer 1

«Независимый» в «независимом от времени уравнении Шредингера» не означает, что волновая функция $\psi(x,t)$ не зависит от времени, но определяемое им квантовое состояние не меняется со временем.

С $\psi(x)$ и $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\psi(x)$ для любого $\phi\in\mathbb{R}$ определяют одно и то же квантовое состояние, это не означает $\partial_t\psi(x,t) = 0$ . Действительно, как показывает решение, зависимость от времени $\mathrm{e}^{\mathrm{i}Et}$ это именно та зависимость, которая разрешена.

Тимей · Answer 2

Чтобы понять, что происходит, вам нужно отличить определение от уравнения.

В качестве примера можно рассмотреть уравнение теплопроводности $\partial_{xx}u=k\partial_t u.$ Обе стороны имеют свое значение, и уравнение говорит, что для решения уравнения теплопроводности две вещи равны. Сначала вы должны быть в состоянии вычислить левую часть (вторые производные) и вычислить правую часть (простую производную), а затем все, что не может быть равным (а таких функций много), просто выбрасывается. не решения, которые вы ищете.

Так, в частности, гамильтониан (подобно $\partial_{xx}$ ) - это отдельная вещь, и она не определяется уравнением Шредингера, она дает только левую часть.

Итак, когда вы пишете

ЧАС Ψ "=" я ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial т}

$H\Psi=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$ левая часть имеет смысл, и смысл не в том, чтобы брать одну производную по времени. Его смысл в том, чтобы взять несколько пространственных производных и сделать что-то еще.

Если вы взяли ненулевое независимое от времени решение для $H\psi=E\psi$ с ненулевой энергией $E$ то вы бы сразу заметили, что $H\psi=E\psi \neq0=i\hbar\partial_t \psi$ это означает, что функция просто не является решением уравнения, зависящего от времени.

Точно так же, как большинство функций не являются решением уравнения теплопроводности.

если мы позволим $\Psi$ быть независимым от времени (что является моей интерпретацией «уравнения, не зависящего от времени»), то почему бы нам просто не получить $H\Psi=0$ ?

Это не то, что означает независимое от времени уравнение. Это ищет равновесие или устойчивое состояние. Опять вернемся к уравнению теплопроводности. Это использование уравнения, зависящего от времени, для поиска конкретных решений уравнения, зависящего от времени, которые не зависят от времени. Это не то, что мы делаем. Мы составляем другое уравнение.

Мы не требуем этого $\psi$ не зависеть от времени и быть решением $H\psi=i\hbar\partial_t \psi.$ Мы требуем, чтобы оно не зависело от времени и было решением совершенно нового и другого уравнения, $H\psi=E \psi.$

Почему? Потому что тогда вы можете решить разделимые уравнения, как вы описываете, введя особенно простую зависимость от времени.

как насчет решений, которые не являются разделимыми?

Если вы возьмете свои начальные условия, то вы можете записать это как (линейную) комбинацию решений уравнения, не зависящего от времени. Затем, когда вы записываете соответствующую (линейную) комбинацию разделимых решений, вы получаете решение уравнения, зависящего от времени, которое соответствует вашим начальным условиям.

И часто это все, что вам действительно нужно. И вы могли бы сделать то же самое с уравнением теплопроводности.

Я не думаю, что это отвечает на мой вопрос, я попытаюсь объяснить: я понимаю, что у нас есть два уравнения, независимое от времени SE и зависящее от времени (для краткости я буду называть их TISE и TDSE). Я хочу сказать, что мы должны быть в состоянии восстановить TISE, удалив все зависимости от времени из TDSE. Но если мы действительно сделаем это, мы получим уравнение $H\psi=0$ , а не ТИСЭ $H\psi=E\psi$ что мы ожидаем.
Продолжая аналогию с уравнением теплопроводности, это все равно, что называть $\nabla^{2}u=k\dot{u}$ «зависящее от времени уравнение теплопроводности». Тогда в стационарных состояниях мы получили бы не зависящее от времени уравнение $\nabla^{2}u=0$ . мы бы не получили $\nabla^{2}u=\lambda u$ , что, кажется, происходит в этом случае.
@DanielLittlewood Если ваш вопрос все время касался терминологии, то ACuriousMind ответил на ваш вопрос. Но вы должны были использовать терминологию тега или тег мягкого вопроса или сказать это. Вы не получите независимое от времени уравнение , пытаясь найти независимые от времени решения исходного уравнения. Это другое уравнение. Его решения можно использовать для нахождения решений более сложного уравнения. А более сложное уравнение можно интерпретировать как рассказывающее вам, как волны эволюционируют во времени от заданных начальных условий, а решения ТИСЭ эволюционируют самым простым образом.
Справедливое замечание, извините, что не включил тег.

Зависящие от времени и независимые от времени уравнения Шредингера

предпочтительный_анон

Храбрость

предпочтительный_анон

Кайл Канос

предпочтительный_анон

Кайл Канос

Ответы (2)

Любопытный Разум

Тимей

предпочтительный_анон

предпочтительный_анон

Тимей

предпочтительный_анон

Кто занимается нормализацией волновой функции во временной эволюции волновой функции?

«Пульсируют» ли атомные орбитали во времени?

Что развивается со временем?

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Эволюция волнового пакета во времени

Почему мы рассматриваем эволюцию (обычно во времени) волновой функции?

Возможная ошибка в предположении - Квантовая механика Гриффитса

Уравнение Шрёдингера для гамильтониана с явной зависимостью от времени?

Рассматривая уравнение Шредингера как обыкновенное дифференциальное уравнение

Как решение независимого от времени уравнения Шредингера может эволюционировать в пространстве?