Физическая интерпретация применения унитарного оператора к состоянию

Ваш вопрос неоднозначен. Применение$\sigma_y$может означать либо применение определенного квантового вентиля к кубиту, либо измерение$\sigma_y$на этом кубите. Применение ворот$\sigma_y$просто представлен$\sigma_y$. Ворота, соответствующие измерению$\sigma_y$из кубита 1 в кубит 2 — это вентиль, который выполняет не на кубите 2, если кубит 1 находится в собственном состоянии +1$\sigma_y$:

$$U = \tfrac{1}{2}(I-\sigma_{y1})\sigma_{x2}+\tfrac{1}{2}(I+\sigma_{y1}).$$ Было бы очень серьезной ошибкой путать эти две операции, потому что они дают один и тот же результат в определенном состоянии.

Сейчас,$\sigma_y = i\sigma_z\sigma_x$, поэтому он эквивалентен$\sigma_x$с последующим изменением фазы$\pi$на$|1\rangle$и изменение фазы$\pi/2$на обоих$|0\rangle$и$|1\rangle$. Возможно, вы сможете сделать это и повторить с помощью подходящей серии лазерных импульсов на холодных атомах или чего-то в этом роде. И могут быть другие способы его создания. Физическая интерпретация такого эксперимента будет зависеть от того, что вы на самом деле делали в каждом случае, так что единой стандартной интерпретации не будет.

Любой оператор,$A$, действующий одним из собственных векторов,$| \psi_i \rangle$, дам,

$$A | \psi_i \rangle = \lambda_i | \psi_i \rangle,$$ где $\lambda_i$является соответствующим собственным значением. Собственные значения матриц Паули равны $\pm 1$соответствует либо вращению вверх, либо вниз в соответствующем направлении. Собственные значения являются возможными результатами измерения наблюдаемой, которая в общем случае является эрмитовым (не унитарным) оператором. Квадрат модуля внутреннего произведения соответствующего собственного вектора на состояние вашей системы дает вероятность измерения этого собственного значения в результате измерения.

Нам нужны эрмитовы наблюдаемые, потому что результаты измерений должны быть действительными числами, а его собственные векторы должны быть взаимно ортогональны (чтобы разные результаты были взаимоисключающими, т. система)

Простой эксперимент Штерна-Герлаха является примером измерения спина: http://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment .

$\sigma_y$не является наблюдаемым, но$S_y$есть, так что давайте сосредоточимся на этом.

Если вы знаете, что$S_y | \psi \rangle$можно написать$a |\psi\rangle$, где$a$является числом, то он только говорит вам, что$| \psi \rangle$измерение$y$-компонент спина обязательно уступит$a$. Вот и все.

Я не думаю, что вы можете рассмотреть$S_y|\psi\rangle$измерение$y$-компонента спина на состоянии$| \psi \rangle$. Почему? Потому что, если вы работаете с общим (не собственным) состоянием, вы не получите хорошего единственного числа, тогда как физически вы получите одно число.

Действительно изящный и интуитивно понятный способ работы с системами кубитов, такими как спин, — это использование сферы Блоха. Сфера Блоха представляет собой двумерное гильбертово пространство, в котором спин$\frac{1}{2}$векторы состояния живут в сфере в$\mathbb{R^3}$.

Взгляните на эту страницу в Википедии для получения дополнительной информации http://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere . (особенно фигура).

По сути, вы можете представить векторы состояния спина как противоположные точки на сфере Блоха. Итак, если вы рассматриваете измерение$S_y$оператор на собственном состоянии$|\pm y\rangle$

$$S_y |\pm y\rangle=\pm\frac{\hbar}{2}|\pm y\rangle$$ положительные и отрицательные результаты соответствуют реальным пространственным векторам вдоль оси y, указывающим либо в положительном, либо в отрицательном направлении.

Предостережение: сфера Блоха полезна только для двумерных гильбертовых пространств и поэтому не должна использоваться где-либо еще. Хотя в сети есть много хороших материалов об этом, так что я бы осмотрелся.

Есть два типа операторов, которые имеют интуитивно понятный смысл, когда вы применяете их к состоянию:

• Операторы эволюции, такие как$e^{-i\hat H\Delta t/\hbar}$просто возьмите состояние во времени$t$и дать вам состояние в$t+\Delta t$

• Проекторы сообщают вам, какое состояние будет после того, как вы проведете измерение. Например, предположим, что вы измеряете наблюдаемую$\hat A$в штате$\left|\psi\right>$и выходит со значением 5. Тогда состояние после измерения будет$\hat P\left|\psi\right>$с$\hat P$проектор для подпространства, порожденного собственными векторами$\hat A$собственное значение которого равно 5.