Физическая интерпретация слабого энергетического состояния (WEC)

Меня смущает утверждение Шона Кэрролла «Пространство-время и геометрия».

На стр. 174-175 он делает следующее заявление о физической интерпретации WEC в случае идеальной жидкости:

«Поскольку давление изотропно, Т мю ν т мю т ν будет неотрицательным для всех времениподобных векторов т мю если оба Т мю ν U мю U ν ≥ 0 и Т мю ν л мю л ν ≥ 0 для некоторого нульвектора л мю ".

Т мю ν - тензор энергии-импульса и U мю это четыре скорости. Для идеальной жидкости два последних неравенства соответственно сводятся к р ≥ 0 и р + п ≥ 0 .

Я понимаю, что оба неравенства являются необходимыми условиями для WEC ( Т мю ν т мю т ν ≥ 0 ) выполняются, но они не являются явно достаточными условиями.

Это необходимые условия, т.к. U мю является времениподобным вектором и, в силу непрерывности, неравенство с участием л мю тоже должно держать. Однако они рассматриваются как достаточные условия, т. е. WEC используется как синоним « р ≥ 0 и р + п ≥ 0 ".

В метрике, не слишком отличающейся от метрики Минковского (предел слабого поля), мы можем разложить любой времениподобный вектор т мю как сумма хорошо выбранного нуль-вектора л мю и кратное U мю или

т мю "=" л мю + λ U мю
с λ реальное число. Это непосредственно приводит к
Т мю ν т мю т ν "=" р ( λ − U мю л мю ) 2 + п ( U мю л мю ) 2
. Это последнее уравнение подразумевает, что в пределе слабого поля WEC эквивалентен р ≥ 0 и п ≥ 0 . Может ли кто-нибудь помочь мне понять, где я совершаю ошибку и почему условия достаточны?

Ответы (2)

Вы уже отметили, что это необходимые условия. То, что они достаточны, следует именно из того, что давление изотропно. Чтобы увидеть это, рассмотрим локальную лоренцеву (ортонормированную) систему отсчета (также известную как тетрада). Любой нулевой вектор можно записать как

ℓ я "=" Н ( дельта 0 я + дельта 1 я ) ,
поскольку мы не указали пространственноподобных направлений (на самом деле 1 — это просто произвольно выбранный пространственноподобный индекс), а
U я "=" дельта 0 я .
Тензор энергии-импульса равен Т я Дж "=" г я а г ( р , п , п , п ) . Затем
Т я Дж U я U Дж "=" Т 00 "=" р ≥ 0
и
Т я Дж ℓ я ℓ Дж "=" Н 2 ( Т 00 + Т 11 ) "=" Н 2 ( р + п ) ≥ 0
эквивалентно этому р + п ≥ 0 . Наконец, произвольный времениподобный вектор можно разложить, как вы говорите
т я "=" ℓ я + λ U я ,
с λ 2 + 2 Н λ > 0 (равно 1, если нормализовано), так как в противном случае т я будет нулевым или пространственноподобным. Таким образом
Т я Дж т я т Дж "=" Н 2 ( р + п ) + ( λ 2 + 2 Н λ ) р ≥ 0
по вышеуказанным результатам. Это означает, что все наблюдатели наблюдают, что плотность энергии неотрицательна.

Вычисление неравенства ВЭК в локальном репере Лоренца действительно сильно упрощает дело и позволяет обобщить утверждение о разложении времениподобного вектора. Однако оценка левой части последней строки приводит меня к
Т мю ν т мю т ν "=" р ( Н + λ ) 2 + Н 2 п
который отличается от вашего результата. Я думаю, что моя ошибка заключалась в интерпретации этого последнего неравенства. Оно должно выполняться для всех времениподобных векторов, т. е. для любого значения Н и λ , что приводит меня к выводу, что р ≥ 0 и р + п ≥ 0 .
@Jac Ах, да! Извините, я привык разлагать на пространственноподобные и времениподобные векторы. Хорошее место! В любом случае, последнее неравенство должно быть эквивалентно предыдущим результатам (и поэтому обязательно должно быть верным, учитывая предыдущие результаты). Я исправил ответ, чтобы учесть это.
Действительно, используя тот факт, что т мю времениподобна, позволяет доказать, что условия для р и р + п являются не только необходимыми, но и достаточными условиями. Теперь мне все ясно. Спасибо.

Для будущих читателей этой темы, вот описание того, как показать, что разложение т мю "=" л мю + λ U мю , который используется в принятом ответе, всегда существует (локально).

Обозначим норму времениподобного вектора т мю к

Т "=" т мю т мю < 0.

Мы хотим найти нулевой вектор л мю и номер λ такой, что т мю "=" л мю + λ U мю . Тогда у нас будет

л мю л мю "=" ( т мю − λ U мю ) ( т мю − λ U мю ) "=" т мю т мю − 2 λ U мю т мю + λ 2 U мю U мю .

Предполагать т 0 "=" С в системе покоя идеального флюидного источника тензора энергии-импульса, т.е. системе, в которой U мю "=" ( 1 , 0 , 0 , 0 ) мю . Затем

л мю л мю "=" Т + 2 λ С − λ 2 .

Для л мю чтобы быть нулевым, нам нужно л мю л мю "=" 0 , и поэтому

λ 2 − 2 λ С − Т "=" 0.

Это уравнение можно решить относительно λ при условии, что С 2 + Т ≥ 0 . Но, используя локально инерциальные координаты для оценки Т , мы находим, что

Т "=" т мю т мю "=" − ( т 0 ) 2 + ∑ я "=" 1 3 ( т я ) 2 ≥ − С 2 ,

так что всегда можно решить для λ .

Физическая интерпретация слабого энергетического состояния (WEC)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v