Форма тензоров 3-го порядка в точечных группах Oh,O,TdOh,O,TdO_h, O, T_d и D3D3D_3

В реальном пространстве по вектору координат$(x_1, x_2, x_3)$, тензор вычисляет величину

$$s=T_{ijk}x_ix_jx_k,$$

где есть неявное суммирование от 1 до 3 по повторяющимся индексам. Применение преобразования группы точек,

$$x'_i = R_{ij}x_j,$$

и мы хотим, чтобы новые координаты тензора удовлетворяли

$$s=T'_{ijk}x'_ix'_jx'_k.$$

Таким образом

$$T_{ijk}x_ix_jx_k=s=T'_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn}x_lx_mx_n$$

должно быть действительным для любого$x_1, x_2, x_3$и поэтому

$$T_{lmn} = T'_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn},\text{ for all } l,m,n=1,2,3.$$

Требование инвариантности тензора требует, чтобы$T_{ijk}=T'_{ijk}$для всех$i,j,k=1,2,3$и вот ваши уравнения:

$$T_{lmn} = T_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn},\text{ for all } l,m,n=1,2,3.\tag{1}$$

Давайте разработаем пример, который вы хотели. Работа с$R$настройка (не та$R$как указано выше, если вам интересно!), группа имеет следующий единственный генератор

$$R=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},$$

который просто циклически переставляет базисный вектор. Я выбрал этот параметр, потому что он делает$R$как можно реже, что упрощает запись уравнений (1). Собственно, мы можем даже явно охарактеризовать ненулевые элементы матрицы поворота:$R_{ij}$отличен от нуля тогда и только тогда, когда$\newcommand{\modulo}[2]{#1\,(\textrm{mod}\,#2)}\modulo{i=j+1}{3}$. Таким образом, уравнения (1) читаются

$$T_{lmn} = T_{\modulo{l+1}{3},\modulo{m+1}{3},\modulo{n+1}{3}},\ \forall l,m,n=1,2,3.$$

Конечно, в общем случае такой аккуратной формулы не существует, потому что разреженный шаблон матрицы вращения не такой уж и аккуратный. Вы не можете избежать скуки, или вы можете использовать CAS или написать небольшой скрипт на предпочитаемом вами языке.