Да, матрица плотности согласовывает все квантовые аспекты вероятностей с классическим аспектом вероятностей, так что эти две «части» больше нельзя разделить каким-либо инвариантным образом.

Как утверждает OP в обсуждении, одна и та же матрица плотности может быть подготовлена ​​​​множеством способов. Один из них может выглядеть более «классическим» — например, метод, следующий за простой диагонализацией из уравнения 1, — а другой может выглядеть более квантовым, в зависимости от состояний, которые не являются ортогональными и/или интерферируют друг с другом — как уравнения 2.

Но все предсказания могут быть записаны в терминах матрицы плотности. Например, вероятность того, что мы будем наблюдать свойство, заданное оператором проектирования$P_B$является

$${\rm Prob}_B = {\rm Tr}(\rho P_B)$$ Итак, какая бы процедура ни производилась $P_B$всегда будет давать одинаковые вероятности для чего-либо.

В отличие от других пользователей, я действительно думаю, что это наблюдение ОП имеет нетривиальное содержание, по крайней мере, на философском уровне. В некотором смысле это означает, что матрицу плотности с ее вероятностной интерпретацией следует интерпретировать точно так же, как функцию распределения в фазовом пространстве в статистической физике, и «квантовая часть» вероятностей неизбежно возникает из этого обобщения, поскольку матрицы не ездите друг с другом.

Другой способ сформулировать ту же интерпретацию: в классической физике все согласны с тем, что мы можем иметь неполные знания о физической системе и использовать распределение вероятностей в фазовом пространстве для количественной оценки этого. Теперь, если мы также договоримся, что вероятности различных, исключающих друг друга состояний (собственных состояний матрицы плотности) могут быть вычислены как собственные значения матрицы плотности, и если мы предположим, что существует гладкая формула для вероятностей некоторых свойств, то она также следует, что даже чистые состояния, матрицы плотности которых имеют собственные значения$1,0,0,0,\dots$– должны подразумевать вероятностные прогнозы для большинства величин. За исключением ненулевого коммутатора наблюдаемых или матриц, квантовые вероятности, связанные с интерференцией, ничем не отличаются и не «страннее» классических вероятностей, связанных с неполным знанием.

Давайте посмотрим на известный конкретный пример: совершенно неполяризованный свет.

Алиса создает неполяризованный свет путем случайного (некогерентного) смешивания света с левой круговой поляризацией с равной интенсивностью света с правой круговой поляризацией.

Боб создает неполяризованный свет путем случайного (некогерентного) смешивания вертикально поляризованного света с равной интенсивностью горизонтально поляризованного света.

Не существует измерения, которое скажет вам, какой свет принадлежит Алисе, а какой Бобу.

Является ли свет Алисы принципиально таким же , как свет Боба, или это разные виды света, которые невозможно отличить друг от друга ?

Ну, не стоит слишком много задавать таких вопросов. Но если бы мне пришлось выбирать, я бы сказал, что это разные виды света, потому что классический процесс некогерентного смешения оставляет след информации, которой достаточно, чтобы отличить два луча друг от друга (даже если я не располагаю этой информацией правильно). теперь на практике).

Например, может быть, Алиса и Боб комбинируют два разных лазерных луча с немного разными (и случайными колебаниями) частотами. (На практике это допустимый способ некогерентного сложения двух световых лучей.) Если у меня нет очень сложного спектрометра, я могу описать все свои возможные измерения, сказав, что это неполяризованные лучи. Но если у меня есть быстрый спектрометр с высоким разрешением, я могу определить, какой луч принадлежит Алисе, а какой — Бобу.

Это пример более широкой истины: классические вероятности больше зависят от ситуации, чем квантовые вероятности. В частности: если каждый из двух человек думает, что частица находится в чистом состоянии, они всегда согласятся в том, в каком состоянии она находится, и, следовательно, они согласятся в распределении вероятностей для любого возможного измерения этой частицы. Но если каждый из двух человек думает, что частица находится в смешанном состоянии, то они часто расходятся во мнениях относительно того, в каком смешанном состоянии она находится, потому что у них могут быть разные вспомогательные знания, что приводит к тому, что они приписывают разные классические вероятности. (Например, может быть, частица является одной из пары ЭПР, и ее близнец был измерен, но результат измерения известен только одному из наблюдателей.)

Но, учитывая состояние «моих знаний прямо сейчас», невозможно провести границу между классическими вероятностями и квантовыми вероятностями — и нет причин!

Я дам ответ, но с другой точки зрения, и, надеюсь, убедим вас в том, что в матрице плотности содержится информация, не имеющая классического аналога. Кроме того, это можно рассматривать как квантовую составляющую, и можно показать, что эта информация хранится в виде собственных векторов$\rho$.

Я приведу пример того, как это проявляется. Информация о Фишере$I(\theta)$это статистика из классической теории вероятностей, которая характеризует, насколько быстро можно узнать о параметре$\theta$которая характеризует распределение вероятностей$p(\theta)$.

В частности, дисперсия несмещенной классической оценки$\hat{\theta}$учитывает границу Крамера Рао

$$\mathrm{var}(\hat{\theta})\geq \frac{1}{I(\theta)}$$

Аддитивность информации означает, что если вы сэмплируете распределение$n$раз, собирая измерения каждый раз, когда ожидаемая ошибка$\Delta \theta_c = \sqrt{\mathrm{var}(\hat{\theta})}$любого оценщика выглядит как

$$\Delta \theta_c \propto \frac1{\sqrt{n}}$$

Это признается в масштабировании стандартного отклонения$\sigma$в таких вещах, как центральная предельная теорема.

Мы можем определить квантовый аналог информации Фишера$J(\theta)$которая удовлетворяет аналогичной границе, известной как квантовая граница Крамера-Рао.

Однако обнаружено, что, допуская запутанность между классически независимыми событиями выборки, оценка становится намного лучше. И после сбора набора данных$n$измерений, наилучшая возможная квантовая оценка ограничена только ошибкой

$$\Delta \theta_q \propto \frac1{n}$$ .

Это показывает, что общее квантовое состояние$\rho$может определенно поддерживать статистику, которую не может классическое распределение вероятностей.

Квантовая информация Фишера матрицы плотности, которая зависит от параметра$\theta$

$$\rho(\theta) = \sum_i p_i(\theta) |\psi_i(\theta)\rangle\langle\psi_i(\theta)|$$ видно, что он разделяется на несколько вкладов, один из которых представляет собой классическую фишеровскую информацию о спектре. $p_i(\theta)$, другой из которых является термином, подобным исследованию Фубини, который учитывает информацию, хранящуюся в основе $|\psi_i(\theta)\rangle$. Возможность (суперклассического) квантового масштабирования полностью зависит от существования этого квантового члена.

В качестве альтернативы, с точки зрения поведения информационной статистики Фишера и ее квантовых аналогов, матрица плотности$\rho$поддерживает неклассическое поведение, только если базисный набор$|\psi_i(\theta)\rangle$содержит информацию, относящуюся к измерению, и в этом смысле информация, хранящаяся таким образом, может считаться неклассической.

---

Полезные вещи

Если вы заинтересованы в некоторых темах, обсуждаемых здесь, см. этот хороший обзор для объяснения. http://arxiv.org/pdf/1102.2318v1.pdf

Это для доступного, но математического объяснения QFI. http://arxiv.org/pdf/0804.2981.pdf

Я знаю, что вы сказали, что вас не интересует случай, когда смешанное состояние было получено посредством частичной трассировки составной системы, но, безусловно, есть интересные вещи, которые можно сказать и в этом контексте, связанном с этим обсуждением.

Рассмотрим следующий мысленный эксперимент: я даю вам два кубита, А и В. Я измерил кубит А вдоль$z$-ось, но не сказал вам результат моего измерения. Кубит B запутан как пара Белла с третьим кубитом, к которому у вас нет доступа. Являются ли два кубита «эквивалентными»?

Ответ зависит от вашей интерпретации квантовой механики. Тот, кто придерживается реалистической интерпретации, эпистемической интерпретации и интерпретации многих миров, ответил бы по-разному. (Многомировая интерпретация обычно классифицируется как реалистическая, но для целей этого вопроса ее лучше отделить. Все согласны с результатами всех физических экспериментов, но не согласны только с правильными словами для их описания.)

Ральф-реалист, придерживающийся (не многомировой) реалистической интерпретации, сказал бы, что, поскольку я измерил кубит А вдоль$z$-ось, она определенно либо в чистом состоянии$|\uparrow\rangle$или чистое состояние$|\downarrow\rangle$постулатом измерения квантовой механики. Вы не знаете, какое чистое состояние, поэтому вам следует описывать систему с максимально смешанной матрицей плотности, но неопределенность чисто классическая и просто отражает ваше классическое незнание того, что я измерял. Кубит B, с другой стороны, запутан с другим кубитом, поэтому он описывается редуцированнымматрица плотности, и причина неопределенности в ее состоянии принципиально квантово-механическая. Ральф сказал бы, что кубит A находится в неизвестном чистом состоянии, а кубит B находится в смешанном состоянии. Философы физики говорят, что кубит А — это «правильная смесь», потому что его вероятностная природа исходит из классического невежества, а кубит В — это «неправильная смесь», потому что он описывается матрицей с уменьшенной плотностью, а его вероятностная природа проистекает из квантовой запутанности. Проводя это различие, они неявно заявляют, что классическая и квантовая неопределенность философски различны, даже если, как вы указываете, их нельзя различить эмпирически.

Ева-эпистемист, придерживающаяся эпистемической интерпретации, сказала бы, что, поскольку не существует физических расчетов или измерений, которые могли бы различить классическую и квантовую неопределенность, нет причин считать их философски разными, и что предполагаемое различие между правильными и неправильными смесями не имеет значения. на самом деле не существует. Она бы сказала, что оба кубита «действительно находятся» в одном и том же максимально смешанном состоянии, а не только что они эквивалентны с вашей точки зрения. Эта точка зрения привлекательна с точки зрения логического позитивизма, но она ведет к, возможно, нелогичному выводу, что чистота физической системы субъективна и зависит от ваших «базовых знаний»: я бы описал кубит А как находящийся в чистом состоянии, вы бы описать его как находящийся в смешанном состоянии, и мы оба будем правы.

Минерва, многомировая, которая придерживается многомировой интерпретации, сказала бы, что (при условии, что она уже не указывала параллельно$z$-ось до измерения) кубит А находится в смешанном состоянии - но и я тоже в смешанном состоянии, потому что я его измерил! Кубит А и я вместе находятся в когерентной суперпозиции моих измерений «вверху» или «внизу» (хотя по мере дальнейшего распространения запутанности это быстро декогерентизируется), поэтому каждый кубит А и я по отдельности находятся в смешанном состоянии. Минерва согласилась бы с Ральфом в том, что существует фундаментальное различие между классической и квантовой неопределенностью, но она согласилась бы с Евой в том, что оба кубита находятся в одном и том же смешанном состоянии. Однако, в отличие от Евы, которая отрицает существование различия между правильными и неправильными смесями, Минерва сказала бы, что оба кубита находятся в (идентичных) неправильных смесях.