Гамильтониан и энергия заряженной частицы в электромагнитном поле

Лагранжиан заряженной частицы с зарядом е движение в электромагнитном поле определяется выражением

л "=" 1 2 м р ˙ 2 − е ф − е А ⋅ в
где ф ( р , т ) скалярный потенциал и А ( р , т ) — векторный потенциал. Вот "потенциал" U "=" е ( ф − А ⋅ в ) зависит от скорости. Соответствующий гамильтониан имеет вид
ЧАС "=" ( п − е А ) 2 2 м + е ф

  1. Можно ли определить полную энергию заряженной частицы? Если да, то как выражается полная энергия и является ли она константой движения?

  2. Совпадает ли выражение для гамильтониана с выражением для полной энергии? Я предполагаю, что гамильтониан не может представлять полную энергию, потому что он не является калибровочно-инвариантным.

Посмотрите (например) physics.stackexchange.com/q/94699
@jim- Я посмотрел пост, но мои вопросы другие.
В Re # 2: Одно из требований для отождествления гамильтониана с полной энергией явно состоит в том, чтобы потенциальная энергия не зависела от обобщенных скоростей. /просматривал недавно мою гамильтонову механику...

Ответы (3)

  1. Для системы частица-поле единственный способ определить калибровочно-инвариантную энергию - это также рассмотреть энергию, переносимую полем, в форме тензора энергии-импульса. Т мю ν при наличии обвинений. Т мю ν является явно калибровочно-инвариантной величиной. Чтобы вывести это, используйте теорему Нётер и уравнения Максвелла при наличии зарядов. Это дает сохраненную энергию для системы

  2. Таким образом, ответ на это будет отрицательным, это не соответствует полной энергии, поскольку вы должны также учитывать энергию поля, чтобы достичь сохраняющейся величины. Интуитивно, если мы выберем некоторую калибровку, где ф "=" 0 , то изменение энергии частицы компенсируется изменением энергии, переносимой полями. Таким образом, в результате получается та же полная энергия для системы.

Оказывается, для свободного электромагнитного поля Т 00 "=" 1 2 ( Е 2 + Б 2 ) + ∇ ⋅ ( ф Е ) . Это энергия, переносимая только полем. Почему ты это сказал Т мю ν калибровочный инвариант? Можете ли вы написать выражение для полной энергии комбинированной системы частица-поле?
Также оказывается, что вы можете переопределить тензор энергии-импульса так, чтобы он был калибровочно-инвариантным, добавив термин 1 4 π ∂ мю А ν Ф мю α . Это оставляет окончательную форму тензора как 1 4 π ( − Ф ν мю Ф мю α + 1 4 г ν α Ф мю β Ф мю β ) . Калибровочно-инвариантный.

Этот вопрос подробно изучен в http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.12463 . Суть в том, что существует естественный способ определить общую энергию электромагнитного поля и частиц вместе, но нет единого естественного способа разделить ее между двумя составляющими.

Этот гамильтониан уже представляет полную энергию частицы, но он не сохраняется, поскольку частица является открытой системой. Добавление энергии поля и частиц, связанных с кулоновским взаимодействием, дает сохраняющуюся энергию для всей замкнутой системы частиц плюс поле.

ЧАС т о т "=" ∑ я ( п я − е я А ) 2 2 м я б а р е + 1 2 ∑ я ∑ Дж ≠ я е я е Дж 4 π ϵ 0 | р я − р Дж | + 1 8 π ∫ г 3 Икс ( Е Т 2 + Б 2 ) .

где м я б а р е - чистая масса, бесконечная величина, которую необходимо перенормировать с помощью «электромагнитной массы», связанной с расходящимся векторным потенциалом, и Е Т – поперечная составляющая электрического поля.

Этот гамильтониан или способ устранения несоответствия точечных зарядов формулам Пойнтинга является стандартным способом, повторяемым в учебниках, но он серьезно дефектен: хотя электрическая энергия становится конечной за счет замены кулоновской энергии, магнитная энергия по-прежнему бесконечна. И е я А не определено - А расходится в том месте, где находится частица. Нужно решить, нужны ли точечные частицы, и в этом случае полевая часть не дается выражениями Пойнтинга, или нужны выражения Пойнтинга, но тогда частицы складываются, и все усложняется.
@JánLalinský расхождение в векторном потенциале А компенсируется термином, включенным в голую массу juanrga.com/2017/07/…
Такого рода усилия с компенсированными бесконечностями плохо мотивированы. Если они компенсируют, зачем их вообще вводить? Мы можем математически придерживаться модели, с которой вы начали, гамильтониана (4) на странице вашего блога. Однако у него есть другая проблема; взаимодействие частиц неправильное. Уже в дарвиновском лагранжиане есть член, зависящий от радиальных составляющих импульсов, и мы знаем, что даже он не полностью согласуется с уравнениями Максвелла. Кроме того, вы сделали логический скачок в 19); как вы пришли к интегралу от Б 2 ? Для точечных частиц этот интеграл бесконечен.
@ JánLalinský Я предпочитаю использовать реальную массу и реальные потенциалы. Просто упомянуто, что нефизическая голая масса необходима, когда используется расходящийся теоретико-полевой потенциал. Обратите внимание, что член Дарвина имеет коэффициент 1/2 во взаимодействии, потому что гамильтониан Дарвина разбивает все взаимодействие на моды. Весь интеграл в (19) расходится. Это расхождение компенсируется Е с е л ф и кинетическим членом. Проверьте (12).
Гамильтониан и энергия заряженной частицы в электромагнитном поле
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v