Калибровочная инвариантность гамильтониана электромагнитного поля

Я попытаюсь немного уточнить ответ @VladimirKalitvianski.

Из уравнений Максвелла мы можем вывести, что следующая комбинация калибровочных преобразований на$\mathbf{A}$и$\Phi$оставить оба$\mathbf{B}$и$\mathbf{E}$инвариант:

$$\begin{align} & \mathbf{A}'=\mathbf{A}-\mathbf{\nabla} \alpha \\& \Phi'=\Phi+\frac{\partial \alpha}{\partial t} \end{align}$$ где $\alpha=\alpha(\mathbf{x},t)$. Это означает, что все полевые конфигурации $\mathbf{B}$и $\mathbf{E}$связанные калибровочным преобразованием, физически эквивалентны . Заметим, что это не имеет ничего общего с оператором Гамильтона в КМ.

Теперь в КМ мы знаем, что волновую функцию всегда можно умножить на фазовый множитель:

$$\psi'=e^{-iq\alpha}\psi,$$ где $\alpha \neq \alpha(\mathbf{x},t)$, потому что вышеприведенное преобразование не влияет на вероятность нахождения частицы в определенном положении, а также на уравнение Шредингера и ток вероятности. Если мы теперь потребуем, чтобы сказанное выше было справедливо и для случая, когда $\alpha = \alpha(\mathbf{x},t)$(т. е. калибровочное преобразование), то уравнение Шрёдингера необходимо сделать калибровочно-инвариантным: $$\begin{equation} i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{1}{2m}(\mathbf{\nabla}-iq\mathbf{A})^2\psi+(V+q\Phi)\psi \end{equation}$$ такое, что уравнение Шрёдингера инвариантно относительно одновременных калибровочных преобразований: $$\begin{align} &\mathbf{A}'=\mathbf{A}-\mathbf{\nabla} \alpha \\& \Phi'=\Phi+\frac{\partial \alpha}{\partial t} \\& \psi'=e^{-iq\alpha}\psi \tag{1} \end{align}$$ Обратите внимание, что мы можем сказать, что мы скорректировали «нормальный» гамильтониан, заменив обычные (частные) производные на: $$\begin{equation} \begin{array}{cc} \displaystyle \mathbf{\nabla} \rightarrow \mathbf{D}\equiv \mathbf{\nabla} - i q \mathbf{A} \; ,& \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow D^0 \equiv\frac{\partial}{\partial t} + iq \end{array} \end{equation}$$ Подводя итог, потребовав инвариантности нашей теории относительно калибровочного преобразования, выражаемого уравнением $(1)$, мы вынуждены изменить оператор Гамильтона, как мы это сделали выше. Однако при этом новый гамильтониан описывает частицу, взаимодействующую с потенциалами $\mathbf{A}$и $\Phi$. Если вас не убедил этот аргумент, я настоятельно рекомендую вам прочитать об эффекте Ааронова-Бома ( http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov%E2%80%93Bohm_effect ).

Кроме того, обратите внимание, что мы требуем, чтобы калибровочное преобразование не влияло ни на какие наблюдаемые. Это означает, что мы должны требовать, чтобы ток вероятности также оставался неизменным. Вы можете показать (хотя это довольно утомительно), что ток становится калибровочно-инвариантным, сделав замену:$\displaystyle \mathbf{\nabla} \rightarrow \mathbf{D}$.

В чем физический смысл калибровочной неинвариантности потенциалов?$\mathbf{A}$и$\phi$? Следуя их определениям, важны только их различия, а не абсолютные значения, если быть кратким.

Расстояние между двумя точками также инвариантно, но свобода выбора положения отсчета системы отсчета трансформируется в непостоянство положения одной точки.