qA⋅vqA⋅vq\mathbf{A}\cdot\mathbf{v} член потенциальной энергии

Я думаю, что Гольдштейн ошибся (или, по крайней мере, вводит в заблуждение).

Гамильтониан для заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид

$$H=\frac{1}{2m}(\vec{p}-q\vec{A})^2+q\phi(\vec x)$$ Мы также знаем из канонического преобразования, что канонический импульс определяется выражением $\vec{p}=m\dot{\vec{x}}+q\vec{A}$. Так что на самом деле гамильтониан есть не что иное, как $$H=\frac{1}{2}m\dot x^2+q\phi(\vec{x})$$ записано в терминах канонического импульса $\vec{p}$. Таким образом, гамильтониан представляет собой не только полную энергию частицы, но фактически в точности равен $T+V$.

Я думаю, что Гольдштейн имеет в виду то, что ранее, в главе 1, он описал лагранжиан для заряженной частицы как возникающий из «потенциальной энергии, зависящей от скорости».$U$, из которого он мог написать$L=T-U$. Этот$U$НЕ является реальной потенциальной энергией, но она заставляет работать лагранжиан. С точки зрения этого$U$, он говорит, что мы не можем писать$H=T+U$, где$U$здесь искусственная «потенциальная энергия, зависящая от скорости». Но мы решительно МОЖЕМ написать$H=T+V$, где$V$— скучная регулярная потенциальная энергия частицы в электрическом поле.

1. Во-первых, Гольдштейн использует буквы$V$и$U$для потенциалов, не зависящих от скорости, и потенциалов, зависящих от скорости, соответственно, как объяснялось в начале раздела 1.5,

2. Как 2-е издание (стр. 346), так и 3-е издание (стр. 341) ошибочно утверждают, что лагранжиан для точечного заряда в поле E&M равен

   $$L~=~T-V$$ скорее, чем $$L~=~T-U.$$ Похоже, Гольдштейн забывает свое собственное соглашение об обозначениях из раздела 1.5!

3. Во 2-м издании говорится (стр. 346)

   Из-за этого линейного члена в$U$, гамильтониан не $T+U$.

   В то время как в 3-м издании говорится (стр. 342)

   Из-за этого линейного члена в$V$, гамильтониан не $T+V$.

   2-я редакция здесь верна, а 3-я неверна, так как гамильтониан$H$действительно является суммой кинетической энергии$T$и электрическая потенциальная энергия$V=q\phi$. Кажется, что первоначальная ошибка во 2-м издании вызвала новую ошибку в 3-м издании!

Использованная литература:

1. Г. Гольдштейн, Классическая механика, 2-е издание, с. 346.

2. Г. Гольдштейн, Классическая механика, 3-е издание, с. 341-342.