Гамильтониан тонкой структуры из уравнения Дирака

Вы можете найти полный вывод в ссылке 1, используя уравнение Дирака. Вы можете дополнить его, взглянув на ссылку 2. во-первых, где уравнение Дирака выводится из принципов квантовой электродинамики (которая является более фундаментальной теорией), таким образом получая более полную картину.

Эскиз: исх.2. принимает лагранжиан КЭД с оператором$\hat\psi(x)$, и выводит уравнение Дирака для поля$\psi_n(x):=\langle 0|\hat\psi(x)|n\rangle$, где$|n\rangle$представляет собой полный набор векторов состояний и$|0\rangle$является вакуумным состоянием. Учитывая уравнение Дирака для$\psi_n(x)$, ссылка 1. выполняет так называемое преобразование Фолди-Вутхайзена , а затем переходит к нерелятивистскому пределу, получая, таким образом, исправленное уравнение Шредингера первого порядка. В целом, ссылки 1, 2 обеспечивают вывод гамильтониана OP из первых принципов после (с точностью до множителей$Z$, которые легко восстановить).

Использованная литература.

1. Ициксон и Зубер, QFT, §2-2-4.

2. Вайнберг, КТП, Том I, §14.1.

Либо вы что-то путаете, либо книга плохо объясняет. То, что вы называете термином взаимодействия электронов (я полагаю), является обычным кулоновским термином, описывающим взаимодействие между протоном и электроном,

$$H_{\text{Coulomb}} = -\frac{e^2}{4 \pi r}$$

Второй член соответствует кинетической энергии электрона (обратите внимание, что мы предполагаем, что протон остается неподвижным). Однако, как вы, возможно, знаете$E = mv^2/2$является классическим выражением, а более полным выражением является релятивистское (которое сводится к$E = mv^2/2$для$mc^2 >> pc$который является точно первым порядком в$p^2c^2/m^2$в разложении Тейлора E). Итак, третий член, который вы записали, называется релятивистской поправкой к кинетической энергии и не имеет ничего общего с электронными взаимодействиями.

Поправки, которые в совокупности называются тонкоструктурными, содержат помимо релятивистской поправки также спин-орбитальную связь и дарвиновский член. Оба они в некотором роде исправляют предположение, что протон остается неподвижным. Все это довольно хорошо объяснено на странице Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Fine_structure

Мы можем получить гамильтониан тонкой структуры из разложения отношения между радиусом Бора$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}$и длина волны Комптона$\lambda_0=\frac{\hbar}{mc}$, т.е. расширение на$\alpha=\frac{\lambda_0}{a_0}$постоянная тонкой структуры. Уравнение Дирака определяется как:

$$\left(\begin{matrix} i\frac{mc}{\hbar}+\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) & \sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \\ -\sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) & i\frac{mc}{\hbar}-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \psi^+\\ \psi^- \end{matrix}\right)=0$$

в пределе, где$\frac{mc}{\hbar}\gg \frac{e\phi}{\hbar c}$удобно брать$\chi^{\pm}\equiv e^{i\frac{mc}{\hbar}t}\psi^{\pm}$, т.е. смещение нулевой энергии. Затем мы получаем:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) & \sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \\ -\sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) & 2i\frac{mc}{\hbar}-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \psi^+\\ \psi^- \end{matrix}\right)=0$$

так

$$\chi^{-}\sim-\frac{i\hbar}{2mc}\sigma^k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \chi^{+}\ll\chi^{+}$$

поскольку зависимость от$\chi^{+}$над$x^k$os преобладает по длине$\frac{e\phi}{\hbar c}$. Это означает, что при первом заказе мы можем выбросить$\chi^{-}$spinor и просто работать с$\chi^+$. Немного алгебры даст вам

$$\left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-\frac{e}{c}\vec{A}\right)^2-\frac{e\hbar}{2mc}\vec{\sigma}\cdot\vec{B}+e\phi\right]\chi^{+}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\chi^{+}$$

обратите внимание, что эта формула предсказывает гиромагнитное отношение$g=2$.

Теперь для получения следующего заказа мы не можем просто сбросить$\chi^{-}$вне уравнения. Для разложения первого порядка мы используем тот факт, что спиноры$\psi^{+}$и$\psi^{-}$связаны и одинаково важны, но мы можем разделить их в этом пределе с помощью унитарного преобразования$\chi^{\pm}\equiv e^{i\frac{mc}{\hbar}t}\psi^{\pm}$. Теперь, чтобы получить следующий порядок, мы собираемся обобщить это унитарное преобразование на$\chi^{\pm}\equiv e^{iS}\psi^{\pm}$так что спиноры$\chi^{+}$и$\chi^-$отделить до терминов следующего-следующего-порядка, т.е.$\sim \alpha ^{k+1}$Для заказа$k$в$\alpha$расширение. Это унитарное преобразование называется преобразованием Фолди–Ваутхейзена. .

Мы всегда можем организовать уравнение Дирака так, чтобы оно выглядело как уравнение Шредингера, а затем с помощью преобразования Фолди – Ваутхейзена:

$$H\left(\begin{matrix} \psi^+ \\ \psi^- \end{matrix}\right)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{matrix} \psi^+ \\ \psi^- \end{matrix}\right)\rightarrow (e^{iS}He^{iS})\left(\begin{matrix} \chi^+ \\ \chi^- \end{matrix}\right)=i\hbar(e^{iS}\frac{\partial}{\partial t}e^{iS})\left(\begin{matrix} \chi^+ \\ \chi^- \end{matrix}\right)$$

Сейчас,$H=\beta mc^2+\mathcal{T}+\mathcal{E}$, где просто$\mathcal{T}$отвечает за соединение спиноров. Расчет немного неуклюж, поэтому я его пропущу. Идея заключается в том, чтобы найти$S$за каждый заказ в$\alpha$, например: держать просто$\alpha^0$заказ мы получаем

$$(e^{iS}He^{iS})=\beta mc^2 +\mathcal{T}+\mathcal{E}+i[S,\beta]mc^2+\mathcal{O}(\alpha mc^2)$$

а потом$S=-\frac{\beta\mathcal{T}}{2mc^2}$. Затем мы смотрим на следующие условия заказа$H'=\beta mc^2+\mathcal{T}'+\mathcal{E}'$сделать новое преобразование Фолди–Ваутхейзена, получив$H''=\beta mc^2+\mathcal{T}''+\mathcal{E}''$.

Гамильтониан для$\alpha^4mc^2$приказ отдает:

$$H'''=mc^2+\frac{p^2}{2m}+e\phi-\frac{p^4}{8m^2c^3}+\frac{e}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{d\phi}{dr}L\cdot S + \frac{e\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2\phi + \mathcal{O}(\alpha^5mc^2)$$

Оказывается, следующий порядок, полученный из действия Дирака, не будет согласовываться с экспериментом, так как следующий порядок попадает в шкалу эффектов КЭД ($\Delta E\sim\alpha^5 mc^2$) как бараний сдвиг .

Все это и многое другое вы можете увидеть здесь