Почему решения S-состояния уравнения Дирака для атома водорода могут быть неограниченными?

На этой странице Википедии есть утверждение об орбите 1S, решенной из уравнения Дирака:

Обратите внимание, что γ немного меньше, чем 1 , поэтому верхняя функция похожа на экспоненциально убывающую функцию р разве что при очень маленьком р теоретически он стремится к бесконечности (но такое поведение проявляется при значении р меньше радиуса протона!).

Для сравнения, при решении радиальной части уравнения Шрёдингера для водорода мы явно стремимся избежать решения, сингулярного в сингулярной точке потенциала.

В уравнении Дирака кажется, что единственное оправдание разрешения неограниченного решения является физическим, а не математическим. Это выглядит очень несовместимым с тем, что я видел при решении различных задач с уравнением Шредингера.

Так почему же решение уравнения Дирака может быть неограниченным? Каковы граничные условия и условия гладкости волновой функции?

Я подозреваю, что уравнение Дирака просто не допускает S-состояний с ограниченной волновой функцией в кулоновском потенциале. Можно ли тогда показать, что если исходить из сферически-симметричного волнового пакета с нулем в центре, то его эволюция в кулоновском поле неизбежно приведет к образованию подобных р γ − 1 особенность?

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

Ответы (2)

Сама идея всегда искать неособое решение УЧП при решении физической задачи ошибочна. Есть законные случаи, когда сингулярное решение действительно решает уравнение и удовлетворяет всем первоначально наложенным на него граничным условиям, а также решает физическую задачу.

Точно так же условие квадратичной интегрируемости волновой функции, упомянутое в ответе Ахметели , недостаточно для получения, например, дискретного энергетического спектра связанной частицы. Рассмотрим, например, сферическую/цилиндрическую функцию Неймана как решение радиального уравнения для частицы в сферическом/цилиндрическом ящике с постоянным потенциалом внутри. Такое решение интегрируемо с квадратом с соответствующим якобианом, но явно приводит к непрерывному спектру энергии, если мы принимаем его как решение такой задачи.

Что нам следует искать, так это решение, которое решает УЧП как распределение . А именно, он должен учитывать все особенности распределения типа дельты Дирака , возникающие при применении к нему дифференциального оператора. В качестве примера рассмотрим сферическую функцию Неймана как вариант решения упомянутой выше проблемы для S-состояния. Он имеет следующее расширение серии:

у 0 ( р ) "=" − 1 р + р 2 − р 3 24 + ⋯ .

Легко видеть, что его можно нормализовать при интегрировании в поле радиуса р , так как якобиан р 2 отменяет 1 р 2 срок в у 0 ( р ) 2 . Но у этой функции есть серьезная проблема: применение к ней оператора кинетической энергии дает дельту Дирака, которая ничем не компенсируется в уравнении. Становится очевидным, если учесть, что 1 р является (с точностью до постоянного множителя) решением уравнения Пуассона для точечного заряда. Другой способ увидеть это - убедиться, что

лим ε → 0 ∫ р 3 ∇ 2 ( 1 р 2 + ε 2 ) д В ≠ 0 ,

вспоминая определение дельта-распределения Дирака.

Подводя итог: предпосылка вопроса ложна: мы не пытаемся избежать сингулярного решения уравнения Шредингера или других подобных уравнений — мы пытаемся убедиться, что наше решение решает наше уравнение в смысле распределения, не оставляя каких-либо случайных сингулярностей распределения. Таким образом, совершенно нормально допускать, чтобы решения уравнения Дирака были неограниченными, при условии, что они решают его точно как распределения.

Я бы сказал, что решение связанного состояния должно иметь интегрируемую плотность вероятности вблизи центра, и это условие выполняется (коэффициент р 2 появляется при интегрировании в сферических координатах), хотя волновая функция (и плотность вероятности) действительно сингулярна. Это условие используется на странице 20 статьи, на которую @LewisMiller ссылается в комментарии («Уравнения Шредингера и Дирака для атома водорода и полиномы Лагерра»).

Это условие кажется недостаточным для водорода Шредингера: там мы можем иметь интегрируемую плотность вероятности даже с несобственными энергиями, так как сингулярность в нуле также легко аннулируется р 2 масса. В этом суть моего вопроса: что же такого особенного в уравнении Дирака, что выполняется это условие интегрируемости вместо регулярности?
@Руслан: Не могли бы вы дать ссылку?
У меня нет ссылки, но вы можете видеть, как я пришел к комментарию. Во-первых, если вы решите радиальное уравнение Шредингера, вы получите два члена с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями Куммера и Трикоми: один член с 1 Ф 1 , который вообще неограничен на бесконечности, но ограничен в начале координат, а другой с U , который обращается в нуль на бесконечности, но не ограничен в начале координат. При нецелом н второй член имеет разложение в ряд с ведущими членами с + а / р + б бревно ⁡ р (см., например, W|A ), которые интегрируемы.
@Ruslan: Похоже, вы рассматриваете некоторые решения уравнения, не зависящего от времени, поэтому они имеют определенную энергию. Что вы подразумеваете под «несобственными энергиями»?
Да, я рассматриваю уравнение Шредингера, не зависящее от времени. Несобственные энергии — это те коэффициенты для радиального гамильтониана, которые находятся в правой части уравнения вместо собственных значений, но не равны ни одному фактическому собственному значению, т. е. если мы говорим ЧАС р ф ( р ) "=" − н − 2 ф ( р ) , то я рассматриваю случай н ∉ Н . Это тот случай, когда ф не удовлетворяет граничным условиям ограниченности .
@Ruslan: Похоже, это ваше собственное определение «несобственной энергии». Если у вас есть нормализуемое решение (даже если оно неограниченно), что не так с соответствующей энергией? (Я не знаю, может быть, эта энергия и не отрицательная, но это не значит, что она не физическая).
Предположим, вы подставляете нецелое главное квантовое число в формулу Бора для энергии водорода. Вы получите значение, которое я называю «не-собственная энергия». Но вы все еще можете найти волновую функцию с этой энергией, которая, несмотря на то, что она сингулярна в начале координат, нормализуема.
@Руслан: Так может быть, в этой волновой функции и этой энергии нет ничего плохого? Почему он "не собственный"?
Почему решения S-состояния уравнения Дирака для атома водорода могут быть неограниченными?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v