Гармоническое движение отрицательного заряда между двумя положительными [закрыто]

Я должен доказать, что отрицательный заряд будет совершать гармоническое движение, если его поместить на линию, разделяющую два положительных заряда. Вопрос . (Отрицательный заряд − д не помещается в центр).
Я прекрасно понимаю, что это будет гармоническое движение, но не могу показать это математически: я попробовал традиционный способ:
пусть два положительных заряда Вопрос 1 и Вопрос 2 , а положение − д заряд находится на уровне Икс расстояние от центра:

Ф 1 − Ф 2 "=" м а
Где
Ф 1 "=" к Вопрос 1 д ( г / 2 − Икс ) 2
И
Ф 2 "=" к Вопрос 2 д ( г / 2 + Икс ) 2
Проблема в том, что я не могу изменить это уравнение, чтобы получить традиционное простое дифференциальное уравнение гармонического движения.
Любая помощь будет здорово.
Спасибо!

Это действительно хороший вопрос. Непонятно, почему закрыли...

Ответы (1)

Движение не может происходить вдоль линии, соединяющей положительные заряды, потому что такое движение неустойчиво: отрицательный заряд будет ускоряться от центральной точки к ближайшему положительному заряду.

Я думаю, следует предположить, что отрицательный заряд движется вдоль биссектрисы, перпендикулярной двум положительным зарядам, и вынужден оставаться на этой линии. при ускорении к одному из зарядов.

Предположим, что два +ve заряда равны 2 г друг от друга, а заряд -ve - это расстояние у от их середины по серединному перпендикуляру. Я использую у отличить поперечное смещение от продольного смещения Икс вдоль линии, соединяющей +ve заряды.

Тогда расстояние р между -ve и +ve зарядами определяется выражением р 2 "=" г 2 + у 2 и сила притяжения к каждому заряду равна к Вопрос д / р 2 . Сумма составляющих этих сил по биссектрисе есть восстанавливающая сила
Ф "=" 2 ( к Вопрос д / р 2 ) ( у / р ) "=" 2 к Вопрос д ( у / р 3 ) .

При малых значениях у << г у нас есть р 3 ≈ г 3 поэтому уравнение движения:
м у ¨ "=" − Ф "=" − 2 к Вопрос д ( у / г 3 )
у ¨ + ю 2 у "=" 0
где ю 2 "=" 2 к Вопрос д / м г 3 .

Колебание является гармоническим только для малых перемещений у << г .

Стабильность — это математическое понятие. Можете ли вы продемонстрировать, что оно математически нестабильно? «Потому что я так сказал» иногда срабатывает, но последнее слово всегда за математикой. (Я пытаюсь, но я ржавый). Необходимо интегрировать более ( г 2 ± Икс )   /   | г 2 ± Икс | 3 .
@uhoh: я не думаю, что математика необходима, чтобы распознать здесь нестабильность. В этом сценарии, если отрицательный заряд ближе к одному из положительных зарядов, чем к другому, результирующая сила, действующая на него, будет удалена от центрального положения и будет увеличиваться по мере увеличения этой асимметрии.
Если предполагается, что в задаче они коллинеарны, может ли отрицательный заряд просто пройти через другой заряд, затем развернуться и пройти снова? В задаче не сказано «протон» или «ион», а только заряды Q и -q, которые являются чисто математическими конструкциями. В любом случае, у меня есть подозрение, что ваша (и @knzhou) интерпретация может быть правильной - проблема может предполагать, что начальное положение смещено перпендикулярно линии, соединяющей две другие.
@uhoh: Это интересное предложение. Я не знаю, как это будет работать математически, проходя через точку с бесконечной потенциальной энергией. − к Вопрос д / р как р → 0 . Если это сработает, я думаю, будет сложно рассчитать период. Если бы все 3 заряда были +ve, то возможны колинеарные колебания, но опять же неустойчивые к боковым возмущениям.
Вопрос хороший, вот так выглядит решение от Scholarpedia .
@uhoh: заряд -ve, кажется, «отскакивает» от зарядов +ve, когда достигает их, а не «проходит», как вы предлагаете выше. Это не кажется правильным. Почему он должен так менять направление? Почему он должен притягиваться, когда движется к положительному заряду, и отталкиваться, когда удаляется?
Это хороший вопрос! Возможно, в анимации есть ошибка — например, человек, который делал анимацию, использовал ярлык, который не может поменять местами два цвета. На самом деле это очень похоже на три взаимно притягивающие (например, гравитационные) частицы, а красный цвет просто перескакивает на ту из них, которая находится между двумя другими. Я думаю, что вы правы - это действительно выглядит неправильно!
Я нашел этот график в «Топологическом доказательстве существования орбит Шубарта в коллинеарной задаче трех тел» — Ричард Мёкель . Кажется, что GIF не может быть неправильным в конце концов! Представьте себе гиперболическую орбиту между двумя планетами, которые движутся мимо друг друга (сила притяжения 1/r^2). Если вы уменьшите масштаб настолько, что не сможете определить расстояние наибольшего сближения, будет казаться, что они просто отскакивают друг от друга. При условии, что бумага предназначена для гравитации, а не для заряда. Это становится все более и более интересным!
Да, это действительно очень интересно. Я не знал, что такие решения возможны. Ваша анимация выглядит как на рис.1. Да, я полагаю, что более легкая частица проходит бесконечно близко к более тяжелым точечным частицам и «выстреливает» обратно, что выглядит как «отскок». То, что две более тяжелые частицы не сближаются и не сталкиваются друг с другом, также замечательно, но не невозможно. Отличная находка. Молодец, что продолжаешь копать. (Вы можете вычислить угловую частоту?!)
@uhoh Я не совсем понял коллинеарный случай. (Вы предоставили цитаты, но я не знаком с таким уровнем деталей). Можете ли вы объяснить, почему шарики с отрицательным зарядом движутся к положительному заряду и внезапно отскакивают в конце? Почему бы им не застрять счастливо навсегда?
@tatan В вопросе ОП говорится о зарядах (предполагается, что у них есть заряд), которые движутся с простым гармоническим движением (предполагается, что у них также есть масса). Кроме того, в вопросе ОП нет ничего, что могло бы обеспечить механизм «прилипания». Это простая математическая задача, в которой мало реальности, поэтому вы должны делать как можно меньше предположений.
@угу Ок. Но если бы кто-нибудь поставил перед вами задачу: «Как вы думаете, что произойдет, если в приведенном выше случае вы переместите средний заряд вдоль линии, соединяющей два других заряда?»... вы бы с готовностью ответили на ее простую гармонику? Если да, то почему?
@tatan SHM является полезным приближением во многих задачах физики, даже если более подробный анализ дает что-то другое. В этом случае я думаю, что все еще неясно с амплитудой и, что более важно, с направлением движения, поэтому я бы не стал отвечать.
Гармоническое движение отрицательного заряда между двумя положительными [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v