Вопрос об истинном значении частичной трассировки

Question

Вопрос об истинном значении частичной трассировки

след
Физика
оператор плотности
квантовая механика

Алгебра

Рассмотрим составную систему, гильбертово пространство которой $\mathcal{H}_{AB}=\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$ , где $\{|0_A\rangle, |1_A\rangle\}$ и $\{|0_B\rangle, |1_B\rangle\}$ являются ортонормированными базисами $\mathcal{H}_A$ и $\mathcal{H}_B$ , соответственно.

Предположим, что составная система находится в чистом состоянии $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0_A1_B\rangle - |1_A0_B\rangle)$ матрица плотности которой определяется выражением

\begin{aligned} р "=" \frac{1}{2} (| 0_{А} 1_{Б} ⟩ ⟨ 0_{А} 1_{Б} | + | 1_{А} 0_{Б} ⟩ ⟨ 1_{А} 0_{Б} | - | 0_{А} 1_{Б} ⟩ ⟨ 1_{А} 0_{Б} | - | 1_{А} 0_{Б} ⟩ ⟨ 0_{А} 1_{Б} |) \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \frac{1}{2}(|0_A1_B\rangle \langle 0_A 1_B| + |1_A0_B\rangle \langle 1_A0_B| - |0_A1_B\rangle \langle 1_A0_B| - |1_A0_B\rangle \langle 0_A1_B|) \end{align}$

Состояние $A$ -подсистема тогда задается частичным следом $\rho$ в отношении к $B$ , т.е.

\begin{aligned} р_{А} "=" т р_{Б} (р) "=" \frac{1}{2} (| 0_{А} ⟩ ⟨ 0_{А} | + | 1_{А} ⟩ ⟨ 1_{А} |) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_A = tr_B(\rho) = \frac{1}{2}(|0_A\rangle \langle 0_A| + |1_A\rangle \langle 1_A|). \end{align}$

$\rho_A$ представляет собой полное описание $A$ -подсистема, и с ее помощью мы можем предсказать результаты всех измерений, которые можно выполнить на $A$ .

Теперь, взяв частичный след $\rho$ в отношении к $B$ кажется, делает две вещи: (1) он говорит нам, что «недиагональные термины» в $\rho$ (т.е. последние два члена в приведенном выше уравнении для $\rho$ ) не имеют отношения к описанию $A$ -подсистема; (2) это дает нам возможность говорить о $A$ -подсистема без упоминания $B$ -базисные векторы через приведенное выше выражение для $\rho_A$ .

Однако мне кажется (во всяком случае, мне), что (1) действительно важно и значимо. Как только мы узнаем, какие термины в $\rho$ необходимы для описания $A$ -подсистемы полностью, не имеет значения, упоминаем ли мы какие-то базисные векторы $B$ -подпространство. Другими словами: кажется, что

\begin{aligned} р_{А}^{'} "=" \frac{1}{2} (| 0_{А} 1_{Б} ⟩ ⟨ 0_{А} 1_{Б} | + | 1_{А} 0_{Б} ⟩ ⟨ 1_{А} 0_{Б} |) \end{aligned}

$\begin{align} \rho_A' = \frac{1}{2}(|0_A1_B\rangle \langle 0_A 1_B| + |1_A0_B\rangle \langle 1_A0_B|) \end{align}$ так же хорошо описывает

A

$A$ -подсистема как

ρ_{A}

$\rho_A$ ; тот факт, что мы используем язык

H_{A B}

$\mathcal{H}_{AB}$ неважно.

Вопрос: Это правильно? Если нет, то где я ошибаюсь?

PS: С этой точки зрения оператор $\rho_A'$ также будет полным описанием $B$ -подсистема. Но это всего лишь результат симметрии простого примера, который я выбрал: оба частичных следа $\rho$ над $A$ и $B$ обеспечить удаление точно таких же недиагональных терминов. Но обычно это не так.

Ответы (1)

Вопрос об истинном значении частичной трассировки

Эмилио Писанти · Answer 1

Нет, ваш ход мыслей неверен. На самом деле, скорее наоборот: нас интересует в первую очередь частичная трасса по причине (2), т. е. это единственный способ присвоить состояние подсистеме A, если у вас нет доступа к измерениям в B. Атрибут (1) специфичен для конкретного примера, который вы выбрали, и, по сути, является побочным продуктом.

Если взять две квантовые системы с совместным пространством состояний $\mathcal H_{AB}=\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ , то любое чистое или смешанное состояние совместной системы может быть описано матрицей совместной плотности $\rho_{AB}$ , и эту совместную матрицу плотности можно использовать для получения ожидаемых значений любого наблюдаемого $\hat Q$ через полную трассировку

⟨ Вопрос ⟩ "=" Т р (\hat{Вопрос} р_{А Б}) .

$\langle Q\rangle = \mathrm{Tr}\mathopen{}\left(\hat Q \rho_{AB}\right)\mathclose{} .$ Однако, если у вас есть доступ только к измерениям в подсистеме A, вы ограничены измерением наблюдаемых в форме

\hat{Q} = \hat{R} \otimes I

$\hat Q = \hat R \otimes \mathbb I$ , и для них ожидаемое значение существенно упрощается:

{| n_{A} ⟩}

$\{|n_A\rangle\}$ и

{| n_{B} ⟩}

$\{|n_B\rangle\}$ для

H_{A}

$\mathcal H_A$ и

H_{B}

$\mathcal H_B$ , соответственно, читается

\begin{aligned} ⟨ Вопрос ⟩ & "=" Т р (\hat{Вопрос} р_{А Б}) \\ "=" Т р (\hat{р} \otimes я р_{А Б}) \\ "=" \sum_{н_{А}, н_{Б}} ⟨ н_{А} | ⟨ н_{Б} | (\hat{р} \otimes я р_{А Б}) | н_{А} ⟩ | н_{Б} ⟩ \\ "=" \sum_{н_{А}} ⟨ н_{А} | (\hat{р} \sum_{н_{Б}} ⟨ н_{Б} | я р_{А Б} | н_{Б} ⟩) | н_{А} ⟩ \\ "=" {Т р}_{А} (\hat{р} {Т р}_{Б} (р_{А Б})) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle Q\rangle & = \mathrm{Tr}\mathopen{}\left(\hat Q \rho_{AB}\right)\mathclose{} \\ & = \mathrm{Tr}\mathopen{}\left(\hat R\otimes \mathbb I\ \rho_{AB}\right)\mathclose{} \\ & = \sum_{n_A,n_B} \langle n_A| \langle n_B| \left(\hat R\otimes \mathbb I\ \rho_{AB}\right) |n_A\rangle|n_B\rangle \\ & = \sum_{n_A} \langle n_A| \left(\hat R\ \sum_{n_B}\langle n_B|\mathbb I\rho_{AB}|n_B\rangle\right) |n_A\rangle \\ & = \mathrm{Tr}_A\mathopen{}\left(\hat R \ \mathrm{Tr}_B\mathopen{}\left(\rho_{AB}\right)\mathclose{}\right)\mathclose{} . \end{align}$ Другими словами, частичный след

ρ_{A} = {T r}_{B} (ρ_{A B})

$\rho_A=\mathrm{Tr}_B\mathopen{}\left(\rho_{AB}\right)\mathclose{}$ это матрица плотности, которая учитывает все экспериментальные наблюдения, сделанные на подсистеме A, которые не включают подсистему B.

Все, что следует из этого определения, с основным обоснованием, как указано выше, является просто следствием определения.

Эмилио, спасибо за ответ, мне очень приятно!
Просто чтобы уточнить: я принимал как должное все, что вы объясняете. Я думаю, что я пытался сказать: всякий раз, когда вы рассматриваете оператор формы $Q= R_A\otimes \mathbb{1}_B$ , затем $Tr(Q\rho_{AB})= Tr(Q\rho'_A)$ с $Tr_B(\mathbb{1}_B\rho_{AB}) = Tr_B(\mathbb{1}_B\rho'_{A})$ , где $\rho'_A$ получается из $\rho_{AB}$ вычитанием всех слагаемых вида $|n_An_B\rangle \langle n'_An'_B|$ с $n_B\neq n'_B$ . Если это неверно, то какой может быть контрпример?
Ваш предложенный $\rho_A'$ не является оператором в пространстве состояний A типа $\rho_A:\mathcal H_A \to \mathcal H_A$ . К этому действительно нечего добавить — если это не ограничено пространством состояний системы, то это не состояние системы. Если эта основная мысль не ясна, то и говорить особо не о чем.
Я знаю о том, что $\rho'_A$ не является оператором $\mathcal{H}_A$ . По причинам, которые завели бы нас слишком далеко, я ищу способ выразить содержание $\rho_A$ с точки зрения оператора на $\mathcal{H}_{AB}$ ; и я думал о $\rho'_A$ как раз этот оператор. В любом случае, вы уже очень помогли - еще раз спасибо!
Если ваши доводы для этого достаточно веские и они дают вам достаточно веских оснований для того, чтобы разрушить огромное вырождение (т. е. выбрать один метод из бесконечности), то может быть оправдано выражение содержания $\rho_A$ с точки зрения оператора на $\mathcal H_{AB}$ ; однако вы не можете назвать этот новый оператор матрицей уменьшенной плотности. (С другой стороны, вы уверены, что на самом деле не ищете квантовый канал с полной дефазировкой на $|n_B\rangle$ основа? просто говорю...).
Замечание взято относительно того факта, что $\rho'_A$ не следует называть матрицей с уменьшенной плотностью! Должен признаться, что я не знаю, что такое квантовый канал с полной дефазировкой, и беглый поиск в Google показывает, что это сложно. Есть ли шанс, что у вас есть указатель на хороший вводный источник?
Каноническим ресурсом являются « Квантовые вычисления и квантовая информация» Нильсена и Чуанга ; У меня нет с собой копии, поэтому я не знаю, насколько доступно она охватывает эту конкретную тему. Если это слишком сложно, уместным будет вопрос о рекомендациях ресурсов на этом сайте; вы получите наилучшие результаты, попросив вводный текст для квантовых каналов, на примере канала дефазировки. Но основы умещаются в комментарии: это операция, которая принимает односистемную матрицу плотности $\rho$ и обнуляет все его недиагональные когерентности в данном базисе.
Это звучит точно так же, как то, что я ищу. Таким образом, каналом дефазировки в приведенном выше случае будет тот, который принимает $\rho_{AB}$ к (то, что я называю) $\rho'_A$ ? Во всяком случае, пока мы разговариваем, я смотрю на Nielsen & Chuang. Спасибо!

Вопрос об истинном значении частичной трассировки

Алгебра

Ответы (1)

Эмилио Писанти

Алгебра

Алгебра

Эмилио Писанти

Алгебра

Эмилио Писанти

Алгебра

Эмилио Писанти

Алгебра

След матрицы плотности для смешанного состояния

Как решить уравнение с частичной трассировкой?

Где выражение Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle для частичной трассировки?

Как происходит отслеживание физической операции?

Откуда мы знаем, что если эволюционирует только ρAρA\rho_A, то эволюция ρABρAB\rho_{AB} задается выражением (LA⊗1)(ρAB)(LA⊗1)(ρAB)(\mathcal{L}_A \ otimes 1)(\rho_{AB})?

Является ли частичная трасса циклической?

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Запутанных состояний больше или незапутанных?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Формула Кубо для общих наблюдаемых