Гильбертово пространство и гамильтонианы

Question

Гильбертово пространство и гамильтонианы

София

Предположим, что система описывается гамильтонианом H, и предположим, что собственные состояния H, $φ_i$ ( r ) интегрируемы в абсолютном квадрате. Мы говорим, что эти состояния принадлежат гильбертовому пространству (они могут даже образовывать базу в этом пространстве).

Но верно ли обратное? Пусть система описывается волновой функцией S ( r , t ), интегрируемой в абсолютном квадрате. Означает ли это, что поведение системы также описывается гамильтонианом?

Замечание : эволюция системы не всегда допускает гамильтониан. Например, если эволюция неунитарна (или, по крайней мере, если есть гамильтониан, она будет принимать комплексные собственные значения). Чтобы было ясно, я не знаю , эволюционирует ли моя система унитарно или нет. Я просто привел пример, чтобы показать, что существование гамильтониана не гарантируется. Что бы я ни знал о функции S ( r , t ), так это то, что она принадлежит гильбертовому пространству.

Итак, вопрос в том, что абсолютная квадратичная интегрируемость обеспечивает (в качестве достаточного условия) существование гамильтониана для системы?

Пример : я разлагаю S ( r , t ) в квантовую суперпозицию собственных функций $φ_i$ (р),

S ( р , т ) знак равно $∑_i$ $C_i$ ( т ) $φ_i$ ( р ), с $C_i$ ( т ) = $F_i$ ( т ) ехр (- я $E_i$ т /ч).

Вводя эту суперпозицию в уравнение Шрёдингера с гамильтонианом H, я получаю, что iħ ∂S ( r , t ) /∂t не равно HS ( r , t ) . Но может ли быть так, что другой гамильтониан H' может существовать в уравнении Шрёдингера? быть довольным?

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v3): При произвольном ортонормированном базисе гильбертова пространства можно найти бесконечно много самосопряженных операторов

H

$H$ диагонали в этом базисе.

любопытный разум

Если эволюция неунитарна, вы описываете не всю систему, а открытую подсистему! Унитарность — один из немногих принципов, который не нарушает ни одна настоящая квантовая теория при рассмотрении замкнутых систем.

София

@Qmechanic: Да, это кажется простым. Но что-то не работает. Обсуждаемая волновая функция — назовем ее S(r, t) — сложна. Хоть абс. интегрируема с квадратом, это не обычная квантовая суперпозиция базовых векторов (

φ_{i}

$φ_i$ (r) ) гильбертова пространства. У меня есть S (r, t) =

\sum_{i}

$∑_i$

C_{i}

$C_i$ (т)

φ_{i}

$φ_i$ (р). И зависимость от времени

C_{i}

$C_i$ (t) не является обычной зависимостью exp(-i

E_{i}

$E_i$ т/ч), где

E_{i}

$E_i$ являются энергиями

φ_{i}

$φ_i$ (р), но

C_{i}

$C_i$ (t) = ехр[-i(

E_{i}

$E_i$ + Q)t/ħ], т.е. сложнее.

София

(продолжение) Кстати, это законная функция в гильбертовом пространстве. Но введение этой суперпозиции в уравнение Шредингера приводит к тому, что приведенная выше зависимость от времени создает проблемы: то, что я получаю в левой части (т. е. где я вывожу по времени), не равно тому, что я получаю в правой части. И я повторяю, это законная функция в гильбертовом пространстве.

Нефенте

@София Где

E_{i}

$E_i$ родом из? Наверное, какой-то гамильтониан. Внешний вид

Q

$Q$ просто сдвигает весь спектр на константу. Это не имеет никаких физических последствий. Норма государства

S

$S$ сохраняется во времени, следовательно, динамика унитарна.

София

@nephente: эволюция во времени собственного состояния

φ_{i}

$φ_i$ (r) гамильтониана имеет вид

φ_{i}

$φ_i$ (r) ехр(-i

E_{i}

$E_i$ т/ч), где

E_{i}

$E_i$ есть энергия квантового объекта в состоянии

φ_{i}

$φ_i$ (р). Но, может быть, вы ошиблись и хотели спросить, откуда берется величина Q в показателях

C_{i}

$C_i$ (т). Я получаю это Q при построении S(r, t) в суперпозиции функций

φ_{i}

$φ_i$ (р). Я был бы ОЧЕНЬ рад узнать, какова физическая интерпретация Q, но на данном этапе я не могу сказать. Итак, я знаю, что функция S(r, t) абс. интегрируема с квадратом, вот и все.

юггиб

Математически говоря, очевидно, что нет . Ваш вопрос в математических терминах: существует карта «эволюции»

E : R \to L^{2} (R^{d})

$E:\mathbb{R}\to L^2(\mathbb{R}^d)$ (что каждому времени соответствует функция, интегрируемая с квадратом). Могу ли я тогда заключить, что существует сильно непрерывная группа линейных унитарных операторов

U : R \times L^{2} (R^{d}) \to L^{2} (R^{d})

$U:\mathbb{R}\times L^2(\mathbb{R}^d)\to L^2(\mathbb{R}^d)$ такой, что

E (t) = U (t) ψ

$E(t)=U(t)\psi$ для некоторых

ψ \in L^{2} (R^{d})

$\psi\in L^2(\mathbb{R}^d)$ ? Предположим, что

E

$E$ не является непрерывным . Затем

E

$E$ не может быть сгенерировано никаким

U (t)

$U(t)$ , так как последние по условию сильно непрерывны.

юггиб

Даже ослабив состояние на

U

$U$ быть

C^{0}

$C^0$ -полугруппы (что может допускать, грубо говоря, несамосопряженные образующие), опять же, вы не могли реализовать никакие ненепрерывные

E

$E$ . Наконец, я вполне уверен, что требуя этого

E

$E$ является непрерывным или даже дифференцируемым отображением, опять-таки недостаточно, чтобы гарантировать, что оно вообще реализуется семейством линейных операторов, действующих на

L^{2}

$L^2$ (не говоря уже об унитарной группе или

C^{0}

$C^0$ -полугруппа).

София

@yuggib, я сожалею, но я изучил теорию групп СЛИШКОМ много лет назад. И мне некогда освежать свои знания ни сейчас, ни в ближайшем будущем. Можете ли вы сейчас сформулировать свой комментарий без групп? Я был бы очень рад. С благодарностью заранее.

юггиб

Я имею в виду, что ваш вопрос переводится как вопрос о том, подразумевает ли существование карты «эволюции» также, что эта карта непрерывна (и, кроме того, порождена действием линейного оператора, может быть самосопряженным или нет). Вы видите на самых элементарных примерах, что ответ отрицательный, потому что существуют функции, которые не являются непрерывными. Чтобы быть явным: карта

Е (т) "=" {\begin{aligned} 0 если т \leq 0 \\ е^{- т {Икс}^{2}} я ф т > 0 \end{aligned}

$E(t)=\left\{\begin{aligned}0\text{ if $t\leq 0$}\\e^{-t x^2}\text{$if t> 0$}\end{aligned}\right .$ не является непрерывным и, следовательно, не существует линейного оператора

H

$H$ такой, что

E (t) = e^{- i t H} ψ

$E(t)=e^{-itH}\psi$ для некоторых

ψ \in L^{2}

$\psi\in L^2$ .

Ответы (2)

Гильбертово пространство и гамильтонианы

Комментарий к вопросу (v3): При произвольном ортонормированном базисе гильбертова пространства можно найти бесконечно много самосопряженных операторов $H$ диагонали в этом базисе.
Если эволюция неунитарна, вы описываете не всю систему, а открытую подсистему! Унитарность — один из немногих принципов, который не нарушает ни одна настоящая квантовая теория при рассмотрении замкнутых систем.
@Qmechanic: Да, это кажется простым. Но что-то не работает. Обсуждаемая волновая функция — назовем ее S(r, t) — сложна. Хоть абс. интегрируема с квадратом, это не обычная квантовая суперпозиция базовых векторов ( $φ_i$ (r) ) гильбертова пространства. У меня есть S (r, t) = $∑_i$ $C_i$ (т) $φ_i$ (р). И зависимость от времени $C_i$ (t) не является обычной зависимостью exp(-i $E_i$ т/ч), где $E_i$ являются энергиями $φ_i$ (р), но $C_i$ (t) = ехр[-i( $E_i$ + Q)t/ħ], т.е. сложнее.
(продолжение) Кстати, это законная функция в гильбертовом пространстве. Но введение этой суперпозиции в уравнение Шредингера приводит к тому, что приведенная выше зависимость от времени создает проблемы: то, что я получаю в левой части (т. е. где я вывожу по времени), не равно тому, что я получаю в правой части. И я повторяю, это законная функция в гильбертовом пространстве.
@София Где $E_i$ родом из? Наверное, какой-то гамильтониан. Внешний вид $Q$ просто сдвигает весь спектр на константу. Это не имеет никаких физических последствий. Норма государства $S$ сохраняется во времени, следовательно, динамика унитарна.
@nephente: эволюция во времени собственного состояния $φ_i$ (r) гамильтониана имеет вид $φ_i$ (r) ехр(-i $E_i$ т/ч), где $E_i$ есть энергия квантового объекта в состоянии $φ_i$ (р). Но, может быть, вы ошиблись и хотели спросить, откуда берется величина Q в показателях $C_i$ (т). Я получаю это Q при построении S(r, t) в суперпозиции функций $φ_i$ (р). Я был бы ОЧЕНЬ рад узнать, какова физическая интерпретация Q, но на данном этапе я не могу сказать. Итак, я знаю, что функция S(r, t) абс. интегрируема с квадратом, вот и все.
Математически говоря, очевидно, что нет . Ваш вопрос в математических терминах: существует карта «эволюции» $E:\mathbb{R}\to L^2(\mathbb{R}^d)$ (что каждому времени соответствует функция, интегрируемая с квадратом). Могу ли я тогда заключить, что существует сильно непрерывная группа линейных унитарных операторов $U:\mathbb{R}\times L^2(\mathbb{R}^d)\to L^2(\mathbb{R}^d)$ такой, что $E(t)=U(t)\psi$ для некоторых $\psi\in L^2(\mathbb{R}^d)$ ? Предположим, что $E$ не является непрерывным . Затем $E$ не может быть сгенерировано никаким $U(t)$ , так как последние по условию сильно непрерывны.
Даже ослабив состояние на $U$ быть $C^0$ -полугруппы (что может допускать, грубо говоря, несамосопряженные образующие), опять же, вы не могли реализовать никакие ненепрерывные $E$ . Наконец, я вполне уверен, что требуя этого $E$ является непрерывным или даже дифференцируемым отображением, опять-таки недостаточно, чтобы гарантировать, что оно вообще реализуется семейством линейных операторов, действующих на $L^2$ (не говоря уже об унитарной группе или $C^0$ -полугруппа).
@yuggib, я сожалею, но я изучил теорию групп СЛИШКОМ много лет назад. И мне некогда освежать свои знания ни сейчас, ни в ближайшем будущем. Можете ли вы сейчас сформулировать свой комментарий без групп? Я был бы очень рад. С благодарностью заранее.
Я имею в виду, что ваш вопрос переводится как вопрос о том, подразумевает ли существование карты «эволюции» также, что эта карта непрерывна (и, кроме того, порождена действием линейного оператора, может быть самосопряженным или нет). Вы видите на самых элементарных примерах, что ответ отрицательный, потому что существуют функции, которые не являются непрерывными. Чтобы быть явным: карта $Е (т) "=" {\begin{aligned} 0 если т \leq 0 \\ е^{- т {Икс}^{2}} я ф т > 0 \end{aligned}$ $E(t)=\left\{\begin{aligned}0\text{ if $t\leq 0$}\\e^{-t x^2}\text{$if t> 0$}\end{aligned}\right .$ не является непрерывным и, следовательно, не существует линейного оператора $H$ такой, что $E(t)=e^{-itH}\psi$ для некоторых $\psi\in L^2$ .

любопытный разум · Answer 1

любопытный разум

Любое гильбертово пространство $\mathcal{H}$ с понятием унитарного времени эволюции также обладает понятием гамильтониана .

Если $\mathcal{U}(t) : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ является оператором эволюции времени для каждого $t \in \mathbb{R}$ , то она образует однопараметрическую подгруппу Ли группы Ли унитарных операторов, порожденную некоторым различным элементом $H$ в алгебре Ли линейных операторов. Этот генератор является гамильтонианом, и как генератор унитарного оператора он обязательно является самосопряженным по теореме Стоуна , поэтому вы получаете гамильтониан, собственные векторы которого охватывают пространство.

Поскольку неунитарная эволюция во времени вступает в игру, если вы рассматриваете только подпространство полного пространства состояний (например, когда вы не отслеживаете все продукты распада распадающихся систем), всегда можно получить унитарную эволюцию, вложив подсистему во «всю систему», найти там гамильтониан, а затем спроецировать его обратно на подсистему, чтобы получить гамильтониан для подсистемы. Но теперь, поскольку временная эволюция здесь была неунитарной, не может быть, чтобы этот гамильтониан был самосопряженным (поскольку экспонента самосопряженных операторов унитарна), поэтому мы вынуждены заключить, что собственные векторы гамильтониана не могут охватывать подпространство, на котором эволюция во времени неунитарна.

Таким образом, вы не можете получить гамильтониан, одновременно охватывающий пространство и производящий неунитарную временную эволюцию, один из них обязательно должен дать сбой.

Матеус Сампайо

Теорема Стоуна утверждает, что унитарные эволюционные группы порождаются самосопряженными операторами, а не только эрмитовыми, поэтому нет необходимости делать какое-либо расширение. На самом деле разные расширения эрмитовых операторов дают разные унитарные эволюционные группы.

София

@ACuriousMind: я видел, что вы ответили, и прочитал ваш комментарий, но сейчас мне нужно отойти от компьютера. Я возвращаюсь намного позже. Скажу коротко. Это спорный вопрос, является ли распад унитарным или нет. Итак, я не уверен в этом. В своем вопросе я только привел пример того, что существование гамильтониана не гарантируется. ВОТ И ВСЕ !!!. Я ничего не знаю о своей системе, кроме того факта, что ее волновая функция абс. интегрируемая с квадратом. Итак, вот мой вопрос. Абс. квадратичная интегрируемость обеспечивает существование гамильтониана? Но, как я уже сказал, я вернусь позже.

любопытный разум

@Sofia: я отвечаю, что независимо от того, откуда исходит неунитарная эволюция: если эволюция во времени неунитарна, вы не получите гамитониан, который одновременно генерирует эволюцию во времени и чьи собственные векторы охватывают пространство, в котором неунитарная эволюция происходит унитарная эволюция.

София

@Mateus: я не знаю разницы между самосопряженным оператором и эрмитовым. Я видел, как другие люди тоже утверждали, что есть разница. В чем эта разница? Но, пожалуйста, если возможно, дайте мне простое объяснение. Какие функции есть у одного и нет у другого? Я узнал, что ОБА имеют свойство НАСТОЯЩИХ собственных значений. Я надеюсь, что это не так.

любопытный разум

@Sofia: Это неправильно, эрмитовы несамосопряженные операторы могут иметь комплексные собственные значения. Различие существует только в бесконечномерных гильбертовых пространствах, где области определения линейных операторов не обязательно должны быть всем пространством. Оператор

A

$A$ является эрмитовым, если оно совпадает с

A^{†}

$A^\dagger$ на его области определения. самосопряженным, если области определения

A

$A$ и

A^{†}

$A^\dagger$ совпадают , и они одинаковы на нем. Хороший обзор проблем с этой разницей здесь .

Матеус Сампайо

@ACuriousMind: разница действительно заключается только в доменах, но эрмитовы операторы не могут иметь комплексных собственных значений, поскольку если

A ψ = a ψ

$A\psi=a\psi$ для некоторых

a \in C

$a\in\Bbb{C}$ и нормализованный

ψ

$\psi$ , имеем вот что:

а "=" ⟨ ψ, а ψ ⟩ "=" ⟨ ψ, А ψ ⟩ "=" ⟨ А^{*} ψ, ψ ⟩ "=" ⟨ А ψ, ψ ⟩ "=" ⟨ а ψ, ψ ⟩ "=" а^{*}

$a=\langle\psi,a\psi\rangle=\langle\psi,A\psi\rangle=\langle A^*\psi,\psi\rangle=\langle A\psi,\psi\rangle=\langle a\psi,\psi\rangle=a^*$ т.е.,

a \in R

$a\in\Bbb{R}$ . Что может произойти и действительно происходит, когда эрмитов оператор не является самосопряженным, так это то, что он имеет комплексные значения в спектре , но не комплексные собственные значения.

любопытный разум

@MateusSampaio: Ты прав. Я забыл, что есть разница между спектром и собственным значением и в бесконечномерном случае.

София

@ACuriousMind и Mateus Sampaio: вы оба очень любезны, но я имею дело с гамильтонианами, которые допускают СЛОЖНЫЕ собственные значения. Один знакомый сказал мне, что эти комплексные значения приемлемы вне гильбертова пространства. Но сейчас, в моей стране ужасно поздно, я надеюсь связаться с вами завтра.

любопытный разум

@Sofia: Будет лучше, если вы отправите сообщение MateusSampaio со своим @, так как я автоматически уведомляюсь как владелец этого сообщения, когда появляется комментарий. Я знаю теорию Фешбаха, хотя и не очень подробно. Кажется, что из-за взаимодействия с окружающей средой это не замкнутая система, поэтому вы можете получить «гамильтонианы», которые не являются самосопряженными.

София

Нет, я понимаю, что слишком вас беспокою. Это несправедливо с моей стороны.

Нефенте · Answer 2

Нет, я не понимаю, почему это должно быть так. Понятие гильбертова пространства, лежащего в основе квантово-механической системы, совершенно не зависит от постулата о том, что временная эволюция порождается гамильтонианом.

Понятие векторного пространства входит в КМ, потому что фундаментально КМ должна быть линейной теорией и, таким образом, допускать произвольные суперпозиции. Более удивительная идея состоит в том, что это пространство над комплексными числами.

Тот факт, что правильная волновая функция должна быть $L^2$ отражает интерпретацию как вероятность-/или плотность заряда.

Любое (разумное) гильбертово пространство допускает счетный ортонормированный базис. Выберите реальное число для каждого из этих базовых состояний и определите

(ЧАС)_{м н} "=" ⟨ ψ_{м}, ЧАС ψ_{н} ⟩ \equiv ϵ_{н}

$(H)_{mn} = \langle \psi_m,H\psi_n\rangle \equiv \epsilon_n$

как матричные элементы оператора $H$ . Какую динамику описывает этот «гамильтониан», зависит от выбора собственных значений, например энергий. Вы также должны убедиться, что спектр не слишком патологический, например, он должен быть ограничен снизу, чтобы его можно было интерпретировать как разумный физический спектр.

Неунитарные временные эволюции происходят в открытых квантовых системах, где вы забываете об окружающей среде, которая связана с интересующей вас системой, но которая, тем не менее, существует. Вероятность может «просочиться» в окружающую среду, отсюда и неунитарная эволюция. Примером может служить, например, основное уравнение Линдблатта, описывающее марковский предел взаимодействия системы и окружающей среды.

Так что на самом деле вы утверждаете, что закрытые системы с разумной функцией плотности вероятности по определению должны описываться гамильтонианом, тогда как в открытой системе это не так. Я правильно понял ваш ответ?
@PhotonicBoom Я имею в виду, что для описания физической системы недостаточно одного гильбертового пространства. Необходим некоторый динамический ввод. Один из постулатов КМ состоит в том, что эволюция состояний порождается оператором Гамильтона. Неявное предположение состоит в том, что система закрыта. Нет связи с окружающей средой. Даже при наличии «окружающей среды» всю систему можно считать закрытой и, таким образом, управляемой единой временной эволюцией. Только при переходе к эффективному описанию подсистемы путем отслеживания окружающей среды возникает неунитарная динамика.

Гильбертово пространство и гамильтонианы

София

Qмеханик

любопытный разум

София

София

Нефенте

София

юггиб

юггиб

София

юггиб

Ответы (2)

любопытный разум

Матеус Сампайо

София

любопытный разум

София

любопытный разум

Матеус Сампайо

любопытный разум

София

любопытный разум

София

Нефенте

ФотонБум

Нефенте

Уравнение Шрёдингера в позиционном представлении

Неявный постулат квантовой механики

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене

Можно ли рассматривать собственные состояния гильбертова пространства как дельта-функции?

Симметричные (по существу) самосопряженные операторы и спектральная теорема

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

От спектральной теоремы к соотношению полноты в квантовой механике

Представление операторов в квантовой механике

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Оснащенное гильбертово пространство и КМ