Неявный постулат квантовой механики

Рассмотрим следующую квантовую систему: частица в одномерном ящике (= бесконечная потенциальная яма). Все волновые функции собственных состояний энергии за пределами поля равны нулю. Но не все собственные волновые функции положения равны нулю. Каждая из них представляет собой дельта-функцию в определенном месте, и некоторые из этих мест нестандартны. Таким образом, кажется, что между собственными состояниями определенного положения и всеми собственными состояниями энергии нет перекрытия. Таким образом, собственные энергетические состояния не охватывают все гильбертово пространство! И эти состояния положения имеют нулевую вероятность любого энергетического результата в измерении!

Теперь я знаю, что когда говорят о бесконечной потенциальной яме, предполагается, что частица не может быть вне ямы. Но я не вижу оснований предполагать это из постулатов квантовой механики. Существуют ли неявные дополнительные постулаты, говорящие: «Гильбертово пространство системы покрывается собственными состояниями гамильтонового оператора (а не другими операторами, такими как положение)»? Или бесконечная потенциальная яма — это просто плохо определенная система, потому что она содержит бесконечности (точно так же, как свободная частица...)?

Если не считать проблемы усечения в поле, это, по сути, дубликат этого сообщения Phys.SE в том смысле, что собственные состояния положения не являются частью гильбертова пространства.
@Qmechanic, я не понимаю, почему это дубликат. Вы можете объяснить, пожалуйста?
@Qmechanic Я думаю, что Лиор прав. «Помимо основного вопроса вопроса...». ;).
PS, я знаю, что мой вопрос может показаться глупым или не заслуживающим обсуждения, потому что очевидно, что должен делать работающий физик, когда она сталкивается с частицей в ящике, но для меня факт, что мне нужно сделать что-то, что не вытекает из постулатов, а основанных на «здравом смысле» или «интуиции», означает, что эта модель реальности (= физическая теория) неполна.

Ответы (3)

Проблема в том, что вы предполагаете, что постулаты квантовой механики автоматически присваивают системам представление полного положения... тогда как некоторые системы (например, частица со спином) не имеют такого представления.

Таким образом, решение состоит в том, чтобы внимательно изучить постулаты квантовой механики. Есть куча абстрактных — состояния — лучи в гильбертовом пространстве, наблюдаемые — эрмитовы операторы, существование гамильтониана, нормальная унитарная эволюция под ним, вероятности — математические ожидания, что происходит с измерениями и т. д. — но ни один из них не говорит какое гильбертово пространство использовать для какой физической системы или какие эрмитовы операторы использовать для конкретных физических наблюдаемых.

Для этого вам сначала понадобится хорошая физическая интуиция, и вы будете следовать общему рецепту, который работает более или менее просто.

Если система имеет классическое представление, включающее каноническую симплектическую структуру с координатами положения и импульса, заданными на всей прямой, и скобку Пуассона, удовлетворяющую условию { Икс , п } "=" 1 , затем присвойте тензорный фактор гильбертова пространства л 2 ( р ) к каждому пространственному измерению с позицией в качестве Икс оператор и импульс как таковой и такая-то производная.

и которое известно как каноническое квантование .

Обратите внимание на важную оговорку в этом рецепте: он требует определения положения на неограниченном интервале. Из-за теоремы фон Неймана о представлении , постулирующей канонические коммутационные соотношения [ Икс , п ] "=" я ℏ автоматически требует, чтобы спектр обоих ( − ∞ , ∞ ) .

Это очень хитрый момент, и даже Дирак споткнулся на нем: он предложил квантовую теорию фазы гармонического осциллятора (Квантовая теория излучения и поглощения излучения. П. А. М. Дирак. Proc. R. Soc. Lond . A 114 № 767, стр. 243–65 (1927) ), которые в конечном итоге оказались в корне ошибочными. (Хорошим источником почему, вероятно, является R. Lynch, Phys. Rep. 256 , 367 (1995) , но Elsevier, похоже, в данный момент не работает.)

Суть в том, что вам нужно взглянуть на вашу классическую систему, прежде чем вы решите, как вы собираетесь ее квантовать. Включает ли классическая система для частицы в бесконечной яме положения вне ямы? Если да, то какой там потенциал? Оно должно быть "очень большим", потому что "бесконечность" не является допустимым значением оператора (т.е. В ^ | Икс ⟩ "=" ∞ | Икс ⟩ ∉ ЧАС )... и тогда вы снова в конечном колодце.

Если ваша классическая система не включает позиции за пределами этого поля, вам нужно быть осторожным с тем, какой вы хотите видеть свою квантовую систему. Вы определенно не можете требовать от своей квантовой системы большего, чем от классической, поэтому состояния вне коробки не должны составлять часть вашего гильбертова пространства. Одним ударом это решает вашу проблему: собственные энергетические состояния будут охватывать все гильбертово пространство.

Вам все еще нужно решить, какие операторы вам нужно использовать для импульса и энергии, и физическая интуиция обычно хорошо помогает в этом. Однако, если вы хотите точно знать, почему мы делаем то, что делаем, вам следует обратиться к классической системе за руководством по квантованию. Так случилось, что классическая система не совсем безотказна, и любые проблемы, возникающие у вас при квантовании, вы могли заметить, просто взглянув на классическую систему! Для интересного взгляда на это, я рекомендую бумагу

Классические симптомы квантовых болезней. Ченгджун Чжу и Джон Р. Клаудер. Являюсь. Дж. Физ. 61 нет. 7, с. 605 (1993) .

Это включает обсуждение в конце раздела III именно этой проблемы.

Для классической частицы в ящике с конечными, но очень высокими стенками нет никаких ограничений на то, чтобы частица находилась вне ящика. Внешние состояния имеют такие же права, как и внутренние. Конечно, переход между ними требует много энергии, как говорят нам классические уравнения движения. Но эти состояния никоим образом не исчезают в предельном процессе устремления потенциала в бесконечность. Итак, по вашим рассуждениям, когда я квантую систему, я должен выйти из этих состояний.
@Lior Если вы сохраните эти состояния после процесса ограничения, вы также нарушите классическую механику. У вас есть неопределенный или бесконечный гамильтониан на огромных участках фазового пространства. Если вы хотите, чтобы ваша qm была надежной, вам нужна работающая классическая механика, а это означает отказ от этих состояний.
Я не согласен. При любом конечном значении потенциала, пусть даже огромном, классическая частица может оказаться вне ящика. Поэтому, когда вы принимаете предел, он все еще может быть там. (также всегда можно сдвинуть все потенциалы в системе на константу). Во всяком случае, из вашего объяснения я понял, что мне следует искать не отсутствующий постулат, а скорее какой-то принцип в квантовании классической системы.
@Lior Да, ваш последний комментарий верен: вам нужно дополнить постулаты процедурой квантования (или, по крайней мере, процедурой, чтобы найти правильное пространство и операторы). Однако вы ошибаетесь, думая, что если какое-то поведение разрешено при конечных энергиях, то оно будет сохраняться в пределе. Попробуйте построить такую ​​механику! как там выглядят уравнения Гамильтона?
Определить функцию e(V), в которой V — значение потенциала, и в которой e(V) равно 1 всякий раз, когда известно, что классическая частица существует вне ящика, и равно 0 в противном случае. Для любого значения V e (V) = 1, поэтому e (V) является постоянной функцией 1. Согласно элементарному исчислению lim e (V) = 1, где V доводится до бесконечности.
@ Лиор, к сожалению, это не так просто, и у вас нет гарантии, что e (V) будет непрерывным на бесконечности. (Попробуйте, например, ф ( Икс ) "=" 1 если Икс конечен и равен 0, если он бесконечен.) Если бы вы могли построить осмысленную гамильтонову механику в этой области (попробуйте!), тогда вы могли бы говорить о ее квантовании.
@Lior: с бесконечным потенциалом гамильтониан не определен во всем гильбертовом пространстве (как оператор! - вы можете записать его, но <s|H|s> не определен для многих векторов/состояний в полном гильбертовом пространстве, которое было в порядке для системы с конечным потенциалом). Дело в том, что процесс ограничения не имеет физического смысла: это просто способ сделать обоснованные предположения для правильного описания некоторых систем.
Предположим, у вас есть свободная квантовая частица, а затем в момент времени t вы включаете потенциал, который представляет собой бесконечную яму. Я не предполагаю, что частица находится внутри ямы до момента времени t — она может быть, а может и не быть, или может находиться в суперпозиции состояний. Что такое гильбертово пространство этой системы? Включает ли он собственные состояния положения вне скважины? В качестве альтернативы можно предположить, что в течение конечного промежутка времени T вы непрерывно включаете потенциал от нуля до бесконечности.
Если за конечное время Т вы постоянно включаете потенциал, который расходится к бесконечности, то уравнение Шредингера перестанет иметь решения. Но, опять же, это присутствует и в классической механике, поскольку соответствующая классическая система также не имеет глобальных решений при всех начальных условиях.
Вероятно, лучший способ выразить это так: не существует V(x), где V бесконечно вне коробки. Вы просто не можете записать это с точки зрения стандартного анализа. Таким образом, процесс ограничения не имеет смысла. Выражение «бесконечная потенциальная яма» или что-то в этом роде также не имеет смысла внутри математического формализма. Это просто неформальный способ поговорить о физической интерпретации ситуации, которую мы хотим описать. Предельный процесс также не имеет смысла: в пределе операторы не сходятся. Вот и все: вопросов не осталось.
(Надеюсь, вы не потеряете ко мне терпение...) Итак, если бесконечная яма не является результатом предельного процесса (т. е. я не могу сказать, что она моделирует ситуацию потенциальной ямы со значением 10000^10000 эВ), что он может моделировать? И почему мы требуем, чтобы волновая функция была равна нулю на краю ящика, если бессмысленно говорить, что там потенциал равен бесконечности? Помните, что именно так мы определяем дискретный спектр системы...
@Lior: Вы когда-нибудь видели бесконечный потенциальный колодец? Это просто создание полностью воображаемой модельной вселенной (где вещи существуют только в коробке) в (оправданной) надежде, что описанное/рассчитанное поведение каким-то образом связано с группой более реалистичных систем, которые вас интересуют (например, глубокие потенциальные колодцы) . Эта надежда проистекает в основном из (неформальной) физической интерпретации математической модели. Я почти уверен, что можно было бы дополнить существующую математическую модель (например) путем нестандартного анализа для описания предельного процесса, но я не знаю никого, кто бы это сделал).
Меня сейчас нет: это повторяется. Но спасибо за интересный вопрос. Немного заставил задуматься о процессе создания физических моделей :-).

Насколько я понимаю, в различных задачах квантовой механики последним шагом является ограничение гильбертова пространства физически допустимыми состояниями. В данной задаче такое ограничение требует, чтобы состояние поддерживалось исключительно на пространственном интервале, в котором потенциал конечен. Это означало бы, что разрешение вашего парадокса состоит в том, что собственные состояния положения вне этого интервала не находятся в гильбертовом пространстве.

Это не единственный пример такого ограничения. В гармоническом осцилляторе есть аналогичное ограничение, заключающееся в том, что мы ограничиваем наше гильбертово пространство состояниями, которые могут быть в конечном счете аннулированы в вакуум, и отвергаем те, которые могут быть понижены произвольно. Точно так же при квантовании векторного поля мы обнаруживаем, что нефизические степени свободы допускают состояния с нулевой нормой, чтобы восстановить физичность, и теорию, которая подчиняется соответствующим калибровочным условиям, мы отвергаем их.

Этот комментарий скорее вопрос (серьезный). Почему вы используете квантовую механику; предположительно окончательная теория физической реальности (по крайней мере, в малых масштабах), для обсуждения «проблемы», которая касается совершенно выдуманной вещи; а именно, «одномерный ящик или бесконечная потенциальная яма». Какой смысл обсуждать что-то, что никогда не наблюдалось или о котором известно, что оно даже не существует?? Как я уже сказал, это серьезный вопрос.
Я постараюсь ответить, хотя, если вы недовольны, возможно, будет полезно обсудить это дальше. Если теория содержит логическое противоречие, то она недействительна и определенно не является теорией для всего. Хотя это правда, что доказательство находится в зачаточном состоянии, а окончательная ценность теории заключается в ее предсказательной силе, мы должны обращать внимание на проблемы по мере их возникновения, поскольку их решение может помочь направить развитие и уберечь нас от погони за дикими гусями. Что касается физического характера проблемы, я не считаю ее ужасным приближением к определенным физическим системам, хотя они, конечно, конечны.

Это всего лишь вопрос выбора базы для векторного (гильбертова) пространства: набор собственных состояний положения — это одна база, набор собственных состояний энергии — другая. Они могут быть выражены друг через друга (векторы/состояния из базы B1 могут быть выражены как сумма векторов из базы B2).

Все в теории векторных пространств...

ОП сказал: «Но суть моего вопроса в том, что для частицы в ящике определенное собственное положение положения (любое, имеющее в качестве волновой функции дельту Дирака вне ящика) не может быть выражено в терминах собственных состояний энергии ».

Ах, вы правы, теперь я понимаю ваш вопрос. Я думаю, дело в том, что колодец бесконечен. Для бесконечной потенциальной ямы у вас всегда есть «несвязанные» более высокие энергетические состояния, которые можно использовать для суммирования собственных векторов вне коробки. В случае бесконечной ямы эти состояния имеют бесконечную энергию (их энергия стремится к бесконечности, если вы позволяете энергии двигаться к бесконечности). Таким образом, они как бы «исчезают» из модели. Но: если вы принимаете то же самое для собственных состояний позиции (просто капая за пределы коробки), все снова в порядке: у вас есть «вселенная» внутри коробки (вселенная, где Координата по дизайну ограничена некоторым интервалом) и снова все позиции собственные состояния можно использовать для построения собственных состояний энергии и наоборот.

Но суть моего вопроса в том, что для частицы в ящике определенное собственное состояние положения (любое, имеющее в качестве волновой функции дельту Дирака вне ящика) не может быть выражено в терминах собственных состояний энергии.
@Lior: я добавил свой ответ в свой ответ. То, что вы должны отбросить часть собственных состояний псомии, является ИМХО из-за того, что [H, x] больше не будет правильным.
И почему отрицательные голоса?
Я вижу, как этот ограничивающий процесс устремления потенциала к бесконечности заставляет волновые функции энергии исчезать вне колодца, но я не понимаю, как постулаты или ограничивающий процесс должны заставлять меня отказываться от позиционных волновых функций вне колодца.
@Lior: Просто чтобы получить «нормальную» ситуацию: гильбертово пространство, в котором собственные векторы x и собственные векторы E охватывают все пространство. Я признаю, что выбрасывать часть пространства состояний кажется довольно случайным. Если мы этого не делаем, то вы правы, что собственные векторы Гамильтона становятся особенными. Тогда ситуация такова, что есть гильбертово пространство, но только подпространство соответствует физическим состояниям, и это подпространство натянуто на собственные векторы энергии. Возможно, это тоже правильно — признать, что гамильтониан действительно особенный в КМ (и в любой динамической теории также).
Другие способы взглянуть на это: (1) Аксиомы не говорят, что вы можете получить свое гильбертово пространство из конечного случая с помощью некоторого непрерывного перехода. Они утверждают, что существует гильбертово пространство, описывающее состояние физической системы. В этом случае это пространство всех функций, которые равны нулю вне коробки.
Неявный постулат квантовой механики
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v