Теорема Нётер: смысл преобразования координат

Классическая лагранжева теория поля имеет дело с полями$\phi: M \to N$, где$M$это пространство-время и$N$является целевым пространством полей. Будем для удобства называть$M$и$N$горизонтальное и вертикальное пространство соответственно. ОП в этой терминологии по существу спрашивает

В: В чем смысл горизонтальных преобразований?

A: Это (горизонтальный) поток в пространстве-времени.$M$. Бесконечно мало, оно порождается (горизонтальным) векторным полем$X\in\Gamma(M)$.

В: Как могут быть важны горизонтальные/пространственно-временные координаты, если они являются просто фиктивными переменными в действии?$S=\int_{\Omega} \!d^4x~{\cal L}$?

A: Ну, как указывает Phoenix87 в своем ответе, может быть поток в регион интеграции и из него.$\Omega\subseteq M$которые могут создавать граничные вклады. Более того,$\Omega$часто считается произвольной областью интегрирования.

Уже сама Нётер рассматривала как горизонтальные, так и вертикальные преобразования в своей основополагающей статье 1918 года . На Phys.SE много примеров, где играют роль горизонтальные преобразования. См., например, этот и этот посты Phys.SE.

Когда вы интегрируете плотность Лагранжа по определенной области$\Omega$, это в принципе разрешено изменять, и это дает вам «пограничный» член в варианте. Об этом хорошо сказано, например, в книге Гольдштейна (3-е издание), где дано правильное доказательство теоремы Нётер.

Я думаю, что через 1,5 года я, наконец, смогу оценить ответ Qmechanic. Позвольте мне попытаться сформулировать то, что, по моему мнению, было бы идеальным ответом на мой вопрос, и поправьте меня, если я ошибаюсь. Я использую символы, определенные в квантовой теории поля Вайнберга.

Поле — это функция$\Psi: M \rightarrow N$, где$M$есть пространство Минковского (которое мы для удобства называем горизонтальным пространством) и$N$является целевым пространством полей (которое мы для удобства называем вертикальным пространством).$N$может быть, например, пространством скаляров, векторов, спиноров Дирака, антисимметричных тензоров и т. д. Чтобы определить инфинитезимальное преобразование$X \rightarrow X$(где$X$пространство полей), мы можем рассматривать отдельные инфинитезимальные преобразования в горизонтальном и вертикальном пространстве:

а) горизонтальное преобразование: преобразование типа$h:M\rightarrow M$. Примером является$x \mapsto x + \omega x$(если$\omega$с обоими индексами вверх или вниз антисимметрично, это бесконечно малое преобразование Лоренца).

б) вертикальная трансформация: трансформация типа$v:N \rightarrow N$. Примером является$\Psi \mapsto \Psi + \frac{i}{2}\omega^{\mu\nu} \mathcal J_{\mu\nu} \Psi$, где$J_{\mu\nu}:N\rightarrow N$— инфинитезимальные образующие в неприводимом представлении группы Лоренца, при которых элементы$N$трансформировать.$\omega$определяется, как указано выше.

Теперь мы можем определить преобразование полей $X \rightarrow X$комбинируя горизонтальное и вертикальное преобразование :$\Psi \mapsto \Psi'$с$\Psi'(h(x)) := v(\Psi(x))$. Действие есть только функционал самих полей, но, как мы видим, преобразованное поле зависит как от вертикального, так и от горизонтального преобразования.