У меня возникают трудности с решением граничных условий для бесконечно тонкого проводящего слоя в присутствии переменного поля.
Я использую уравнения Максвелла:
Проблема возникает с двумя последними. Для стационарных полей члены
и
исчезают, и я могу использовать граничные условия «учебника», например:
Получают ли эти уравнения дополнительный член
в случае нестационарных полей?
Если да, то эти термины выше и ниже листа различны, и я не уверен, какое значение следует использовать.
Ток на листе
оказывается тоже снят с производства.
Какое поле (текущее) следует использовать в качестве поля на самой границе?
Я бы предположил, что это среднее значение полей непосредственно над и под границей, но я в основном предполагаю и не знаю точного доказательства. Я глубоко благодарен за любую помощь.
Обработки, которые я видел, предполагают, что частоты достаточно низкие, чтобы ток смещения был незначительным по отношению к напряжению: . (Это упрощение можно рассматривать как определение «плохого» проводника.) Это упрощение добавляет срок.
Граничное условие исходит из дифференцирования Максвелла № 4 по кругу с ребрами внутри и снаружи резистора, и вы должны получать согласованные результаты независимо от того, какой круг вы используете. Если вы пренебрегаете током смещения, вы получаете более простое условие, чем стандартное, которое вы цитируете. Для бесконечно толстой батареи вы не можете получить преимущество «снаружи»; вместо этого вы получаете уравнение, связывающее более низкое поле H, более высокое поле H и объемный ток (+ ток поверхностного смещения, если вы им не пренебрегаете).
Вы, вероятно, хотите переопределить проблему: например, если нижнее Н-поле и объемный ток не указаны, полное Н-поле остается читателю в качестве упражнения.
Ваша проблема сингулярна, поэтому вам нужно использовать дистрибутив. Операторы векторного поля читаются:
div(B)={div(B)}+n12.(B2-B1)*delta(S) curl(E)={curl(E)}+n12x(E2-E1)*delta(S)
{div(B)} — производная функции, а delta(S) — двумерное дельта-распределение, расположенное на S. Затем вы приравниваете регулярную часть к обычной части, а сингулярную часть (с дельтой (S)) к сингулярной части в каждом уравнении.
Обработки, которые я видел, предполагают, что частоты достаточно низкие, чтобы ток смещения был незначительным по отношению к току проводимости: . (Это упрощение можно считать определением «хорошего» проводника.) Это упрощение устраняет срок.
Граничное условие возникает в результате интегрирования Maxwell #4 по прямоугольнику с ребрами внутри и снаружи проводника, и вы должны получать согласованные результаты независимо от того, какой прямоугольник вы используете. Если вы не пренебрегаете током смещения, вы получаете более сложное условие, чем стандартное, которое вы цитируете. Для бесконечно тонкого проводника вы не можете получить ребро «внутри»; вместо этого вы получаете уравнение, связывающее верхнее поле H, нижнее поле H и поверхностный ток (+ поверхностный ток смещения, если вы им не пренебрегаете).
Вы не хотите переопределять проблему: например, если указаны верхнее H-поле и поверхностный ток, затем определяется нижнее H-поле.
обновление: На самом деле, с конечной проводимостью , вы не можете получить ненулевой поверхностный ток в бесконечно тонком проводнике: сопротивление в этом пределе становится бесконечным. Я думаю, вам нужно либо рассмотреть идеальный проводник, либо конечную толщину проводника. Джексон, Классическая электродинамика , раздел 8.1 имеет трактовку.