Импульсные представления в квантовой механике

Почему мы получаем информацию о положении и импульсе, когда обращаемся к разным представлениям. Почему импульс, который в классической физике был связан с производной положения по времени, теперь в КМ является просто другим представлением, вызванным некоторым унитарным преобразованием. Является ли теорема Эренфеста единственной связью?

Я только начал изучать QM. Поэтому, пожалуйста, предложите несколько ссылок, объясняющих структурные аспекты и различные связи. Я не хочу начинать с некоммутативной геометрии. Хотелось бы чего-то вводного и мотивирующего.

Ответы (2)

Вы можете получить информацию обо всех наблюдаемых в любом представлении. Причина перехода к разным заключается в том, что с ними легче работать в зависимости от того, что вы делаете. Все они эквивалентны по теореме Стоуна-фон Неймана, так что это вопрос удобства.

Существует теорема (математическая), грубо говорящая о том, что для любого интересующего КМ оператора существует представление оператора как оператора умножения, в нем он выступает как умножение на функцию . В координатном пространстве операторы положения представляют собой умножение на координаты. В импульсном пространстве именно импульс представлен как умножение. Это верно для любой из наблюдаемых КМ. К сожалению (или к счастью), поскольку они не ездят на работу, для них нет единого представления. Следовательно, люди используют более одного.

Изменить: в ответ на комментарий. Об этом наверняка написано во многих книгах, но вот ссылка. Посмотрите книгу Фолланда «Квантовая теория поля. Путеводитель для математиков». Первый раздел главы 3 дает хорошую мотивацию для использования самосопряженных операторов для моделирования наблюдаемых КМ.

Для полноты эта теорема называется спектральной теоремой , и она довольно техническая для общих операторов, но в основном это просто диагонализация оператора в «базисе» «собственных векторов» (пугающие кавычки, потому что операторы в бесконечномерных пространствах не обязательно должны иметь собственные значения или собственные векторы).
Может быть, я не был ясен в своем вопросе. Я должен был спросить некоторое обоснование самосопряженных операторов как наблюдаемых. Вы можете сказать, что нам нужны реальные собственные значения и т. Д. Но почему мы предполагаем, что собственные значения являются набором наблюдаемых значений... Необходима ли эта структура - я имею в виду, можем ли мы вывести, что необходимо иметь дело с линейными операторами, собственными значениями из некоторых предположений ... И моя проблема относительно импульса заключалась в том, почему представление Фурье связано с импульсом, который был некоторой производной по времени в классической теории? Физика.
@Ket: В этом случае я неправильно понял ваш вопрос. Вы можете проанализировать наблюдаемое O с помощью вопросов типа «верно-ложно» в форме «Является ли значение O в множестве E?» для борелевских множеств E в р . Это приводит к проекционнозначным мерам на р . Тогда спектральная теорема (снова) дает связи с самосопряженными операторами. Я нахожу это естественным, но это субъективно. Написать это подробно было бы больше, чем комментарий, и, как я уже сказал, я понял ваш вопрос по-другому.

Дорогой Кет, импульс в КМ — это не «просто другое представление, вызванное некоторым унитарным преобразованием». Как вы, наверное, уже знаете, физическое состояние в квантовой механике не может иметь одновременно четко определенного (четкого) значения импульса и положения; это принцип неопределенности Гейзенберга. Тем не менее, вы все равно можете измерить ожидаемые значения импульса и положения в одном и том же состоянии. Именно на уровне ожидаемых значений импульс и положение удовлетворяют точно такому же соотношению, как и в классической физике; это теорема Эренфеста.

Когда вы говорите о представлениях и унитарных преобразованиях, вы, вероятно, имеете в виду выбор базиса в гильбертовом пространстве физических состояний. Но это всего лишь математический инструмент: чтобы иметь возможность работать с векторами из гильбертова пространства, удобно выбрать базис и работать с координатами в этом базисе, а не с абстрактными векторами. Если вы выберете основу собственных состояний оператора положения, «координаты» будут тем, что называется волновой функцией. Но вы можете выбрать и любую другую основу. Вы можете работать в импульсном представлении, соответствующем базису собственных состояний оператора импульса, который действительно связан с координатным представлением унитарным преобразованием (называемым в математике преобразованием Фурье). Это потому, что оба основания ортогональны, образуемые собственными состояниями самосопряженных (эрмитовых) операторов. Однако вы также можете использоватьлюбой базис, не связанный ни с одним оператором наблюдаемой. Что является физическим, так это ожидаемые значения наблюдаемых (которые не зависят от выбора базиса) и отношения между ними, которые по теореме Эренфеста эквивалентны классическим уравнениям движения.

Всего две придирки: 1) эти "базы" не совсем базы и их векторы даже не принадлежат гильбертовому пространству. Я думаю, что на это стоит обратить внимание тому, кто только начинает заниматься QM, хотя бы из любопытства, о котором следует помнить; 2) то, что эти (и другие) представления работают так хорошо, является следствием теоремы Стоуна-фон Неймана , которая гарантирует, что эти (и другие) представления унитарно эквивалентны. Эта теорема, конечно, неверна, если убрать некоторые допущения, и приводит к интересным возможностям неэквивалентной пустоты и т. д.
Я понимаю, что теорема Эренфеста связывает ожидаемые значения. Но моя проблема заключалась в том, чтобы понять необходимость в рамках с операторами и их собственными значениями, представляющими физические наблюдаемые, значения... какие требования налагают необходимость... и почему классические результаты выходят как отношения ожидаемых значений ... А что касается импульса, почему преобразование Фурье связано с импульсом ... Все в порядке, если я просто следую аксиоматическому подходу, вся моя проблема заключалась в том, чтобы понять связи между классической и квантовой физикой.
@Ket: тебя устраивает гамильтонова механика? Этот формализм очень напоминает квантовую механику. Единственное отличие состоит в том, что наблюдаемые (которые являются просто функциями в фазовом пространстве) там коммутируют. Но в квантовой физике нам нужна некоммутативность (из-за HUP), поэтому мы заменяем алгебру функций (которая коммутативна) алгеброй операторов, которые (которые не обязательно должны быть). Но кроме этой «детали» все осталось по-прежнему.
@Marek: Да, я пытался немного изучить симплектическую геометрию. Итак, вы говорите, что HUP диктует некоммутативную алгебру наблюдаемых. Спасибо за это. Это кажется ответом на мою проблему. Я подумаю об этом. Большое спасибо еще раз .
@Marek: я, конечно, знаю об этих придирках. Мы просто, кажется, не согласны с тем, важно ли упоминать о них тому, кто только начал изучать QM :) @Ket: Когда вы измеряете наблюдаемую в физическом состоянии, вы получите разные результаты с определенной вероятностью. Ожидаемое значение — это просто статистическое среднее этих значений. В некоторых состояниях вы всегда получаете один и тот же результат с вероятностью один. Оператор наблюдаемой естественным образом строится так, что эти состояния являются его собственными состояниями (а соответствующие значения наблюдаемой - собственными значениями).
@Ket: Всего один комментарий по поводу комментария Марека об аналогии классической и квантовой механики. Если рассматривать операцию скобки Пиоссона вместо умножения функций в классическом случае, то они не должны коммутировать. На самом деле они удовлетворяют коммутационным соотношениям, очень похожим на соотношения в квантовой механике.
@Tomáš: Я знаю, что ты это знаешь :) Но я подумал, что упоминание об этом не повредит. @MBN: хорошее замечание, но я был бы осторожен, говоря, что функции коммутативны. Если явно не разъяснено, что вы имеете в виду в смысле Пуассона, это обязательно создаст путаницу. Некоммутативность лучше приберечь только для квантового случая (в духе некоммутативной геометрии, квантовых деформаций, квантовых групп и т. д.).
@Marek: Можете ли вы сказать мне, как именно HUP приводит к необходимости некоммутативных наблюдаемых. Прежде всего, что вы подразумеваете под HUP, когда вы не находитесь в рамках QM.
@Ket: может быть, это было слишком сильное заявление. На самом деле у меня нет доказательств того, что для включения HUP вам нужны некоммутативные наблюдаемые. Тем не менее, как только вы введете некоммутативность, неизбежным следствием станет то, что некоторые наблюдаемые не могут быть измерены совместно с бесконечной точностью. Что касается того, что я имею в виду под HUP: я имею в виду экспериментальное наблюдение о невозможности достижения бесконечной точности в измерении несовместимых наблюдаемых. Фреймворк нужен только в том случае, если вы хотите понять его как следствие чего-то другого (в случае QM, как следствие некоммутативности).
Импульсные представления в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v