Интегрирование уравнений с единицами

Вы знаете, что вы можете поставить мультипликативную константу перед интегралом, верно?

$$\int cf(t)\mathrm{d}t = c\int f(t)\mathrm{d}t$$

где$f(t)$любая функция$t$, нравиться$t^2$или$t(2\text{ s} - t)$(и$c$не зависит от$t$).

Единицы также могут быть частью этого постоянного фактора. В этом случае постоянным коэффициентом является$4\mathrm{\ kg\ m/s^4}$.

Причина, по которой все это работает, заключается в том, что интеграл — это, по сути, сложение. Вы вычисляете значение функции, в вашем случае$4\mathrm{\ kg\ m/s^4}t(2\text{ s} - t)\hat{i}$в какой-то момент$t$, умножив его на небольшое увеличение времени$\mathrm{d}t$, и суммируя результат для всех возможных моментов времени. Взгляните на единицы различных частей, которые вы складываете:

$$\begin{align} &4\color{blue}{\mathrm{\ kg\ m/s^4}}\color{red}{t}\color{green}{(2\text{ s} - t)}\hat{i}\color{purple}{\mathrm{d}t} \\ \text{units: }&(1)\color{blue}{(\mathrm{kg\ m/s^4})}\color{red}{(\text{s})}\color{green}{(\text{s})}(1)\color{purple}{(\text{s})} = \frac{\text{kg m}}{\text{s}^4}\text{s}^3 = \frac{\text{kg m}}{\text{s}} \end{align}$$

Таким образом, вы складываете вещи, которые имеют единицы$\text{kg m/s}$. Таким образом, ваш результат будет иметь те же единицы измерения. Поскольку единицы являются постоянным фактором, не имеет значения, вытаскиваете ли вы их заранее или оставляете для интегрирования.

Вероятно, поэтому полезно использовать переменные. Если мы просто позволим$q=4\,{\rm kg\,m/s^4}$и$h=2\,{\rm s}$, то ваша сила

$$\mathbf{F}=qt\left(h-t\right)\hat{\mathbf{i}}$$ Затем мы интегрируем это с течением времени $t$, $$\int_0^t\mathbf{F}\,dt'=q\int_0^tt'\left(h-t'\right)dt'\,\hat{\mathbf{i}}$$ мы получаем, $$\int_0^t\mathbf{F}\,dt'=q\frac{-2t^3-6ht^2}{6}\,\hat{\mathbf{i}}\Rightarrow\frac{16}{3}[q][t][h]\hat{\mathbf{i}}$$ где $[q]$представляет единицы $q$и аналогично для других переменных. Глядя на них, мы получаем $$\rm{\frac{kg\,m}{s^4}\cdot s^3=\frac{kg\,m}{s}}$$ который является единицей импульса , а не силы.

Таким образом, я считаю, что правильный способ — обернуть единицы в переменную, интегрировать, а затем применить единицы.