Рассмотрим Dp-брану. Компактифицировать пространственные измерения над тором . Предполагать , и что Dp-брана полностью обернута вокруг компактифицированных измерений.
Посмотрите на моды открытой струны, оканчивающиеся на этой обернутой D-бране. С каждым пространственным измерением связана мода открытой струны с нулевой энергией. Это соответствует ориентации возбуждения поля на мировом листе. Если это направление вдоль некомпактного пространственного измерения, это соответствует кванту смещения браны вдоль этого направления. Эти случаи не должны нас беспокоить. Если направление нормально к бране, но лежит вдоль компактифицированного измерения, это соответствует кванту смещения браны вдоль этого направления. Если он касается браны, он соответствует кванту линии Вильсона калибровочного поля браны вдоль этого завернутого направления.
Вот вопрос. Предположим, что обернутая D-брана имеет общую массу . Предположим, что существует компактифицированная пространственная размерность радиуса вдоль которого брана не намотана, т.е. . Брана имеет импульсы Калуцы-Клейна вдоль этого направления значения где n целое число. Энергетический спектр определяется выражением
В любом случае, как полностью обернутая D-брана может иметь КК-импульс? На картине струнного мирового листа у нас есть открытые струны, заканчивающиеся на фоне D-браны в фиксированном положении. Вдоль тех компактифицированных измерений, вдоль которых брана не обернута, мы имеем граничные условия Дирихле. Такие открытые струны могут иметь только числа витков, но не иметь импульса КК. Даже тогда мы имеем дело с конденсатом открытых струн с нулевым числом витков.
Эта дискретизация не происходит, если брана остается развернутой по крайней мере в двух некомпактных пространственных измерениях, потому что теперь брана имеет бесконечную массу. Если она остается развернутой только вдоль одного некомпактного пространственного измерения, существует теорема Мермина-Вагнера, означающая отсутствие фиксированного положения браны или линии Вильсона.
PS: Может быть, этот вопрос можно перефразировать с точки зрения BPS. У нас есть обернутая брана BPS. Но каким-то образом непертурбативно состояние BPS должно быть делокализовано вдоль компактифицированного измерения или его линии Вильсона в суперпозиции по всем возможным значениям? Открытые струны без энергии также являются BPS. Значит, мы можем иметь любой их конденсат и при этом оставаться БПС? Это явно не случай поднятого модуля и дискретизации энергетического спектра.
PPS: Как вообще можно выразить КК-моды D-браны или дуальные к ее линиям Вильсона термины конденсата открытых струн? Предположим, у вас самое низкое энергетическое состояние с нулевым импульсом КК. Тогда, без учета поперечных смещений по некомпактным пространственным измерениям, существует энергетическая щель в следующее энергетическое состояние. Однако конденсат открытых струн с возбуждениями внутренних мод вдоль компактифицированных измерений наивно не давал бы энергетической щели.
PPPS: Является ли количество режимов открытой строки, соответствующих этим «исчезающим модулям», даже четко определенным оператором? Именно потому, что на пертурбативном уровне такие моды открытой струны не имеют энергии. Если это не четко определенный оператор, то как вы вообще можете выразить это в терминах мировых таблиц с открытыми строками?
Ввиду T-двойственности вдоль конечных направлений, на которые наматывается D-брана, ваша первая задача эквивалентна задаче о движении D0-браны по окружности.
Безмассовый скаляр открытой струны, соответствующий направлению окружности, создает поле живущих на мировой линии D0-браны. И действительно, по предположению, глобальная топология конфигурационного пространства для этого поля включает периодическую идентификацию . Это эквивалентно квантованию дополнительного импульса .
Но ни один из этих двух эквивалентных признаков периодичности/квантования поперечного положения/импульса не виден на уровне спектра открытых струн. При пертурбативной трактовке динамики D-браны мы эффективно расширяемся вокруг классической формы «тяжелой» D-браны, т.е. вокруг классического решения. Представлять себе . Возбуждение открытой струны, соответствующее поперечному полю, есть квант «волны», лишь «бесконечно мало» отклоняющийся от . Количественная шкала расстояний, на которой deviates параметрически короче масштаба строки. Таким образом, открытые струны знают обо всех возможностях D-браны изменять свою форму и вибрировать, но конечное число возбуждений открытых струн все еще оставляет вас рядом с ними. поэтому он не способен исследовать глобальные свойства пространство конфигурации. Чтобы добраться до точки , вам потребуется бесконечное количество открытых строк — число будет масштабироваться как или что-то в этом роде — и пертурбативное расширение прервется или станет недостаточным в этой точке, потому что это расширение вокруг точки в этот момент требуемое количество открытых строк строго бесконечно.
Таким образом, в ведущем порядке вычисления с открытой струной будут совершенно нечувствительны к глобальным свойствам конфигурационного пространства D-браны. Это также отражается в вашем кинетический член от D-браны. Потому что , эта кинетическая энергия масштабируется как и исчезает в предел. Но да, как только вы перейдете к подчиненному порядку в когда вы вычисляете энергию или эволюцию, вы сможете увидеть, что поле на D0-бране является периодическим и коэффициент этого -подобный кинетический член является квантованным .
Аналогичным образом вы можете решить другую универсальную задачу с линией Вильсона, которая является просто T-дуальной D0-браной, описанной выше, проведенной вдоль ось. Вы получаете D1-брану с линией Вильсона, которая играет в точности роль периодической для D0-браны. Двойственной величиной этой периодической линии Вильсона является электрический поток, , вдоль D-струны, которая квантуется так же, как импульс D0-браны — они являются двойственными описаниями друг друга. Опять же, возбуждения открытой струны производят только «бесконечно малые вариации» (или планковские, подструнные вариации) линии Вильсона, которые слишком малы, чтобы увидеть периодичность линии Вильсона или квантование дополнительного электрического потока.
По крайней мере для меня полезно взглянуть на эту проблему с точки зрения матричной теории, которая выбирает некоторый низкоэнергетический предел динамики D-браны. Действительно, для D0-бран на окружности можно описать ситуацию и для D1-бран на двойственной окружности. Матричная модель, матричная теория струн, автоматически даст вам правильную калибровочную теорию с правильными условиями периодичности линии Вильсона и квантованием электрического потока. Вы можете спросить, как получается, что калибровочная теория правильно идентифицирует конфигурационное пространство. Можно быть более или менее строгим, но ясно, что это отождествление должно быть. Это отождествление сводится к тому, что, например, D0-брана местами и на самом деле одно и то же состояние – это то же самое состояние и с точки зрения пертурбативной теории струн, потому что расположение D0-бран определяет два полностью идентичных (т.е. одно) граничных условия для мирового листа, одну и ту же граничную CFT. Конфигурационное пространство для D-бран — это пространство различных граничных условий, и поскольку и дать те же граничные условия, они идентифицированы.
Геклс
Геклс
пользователь1504
Любош Мотл