Измерение в общем состоянии суперпозиции

Общее состояние суперпозиции (т. ты н ( Икс ) – пространственная часть собственных функций энергии):

ψ ( Икс , т ) "=" ∑ н "=" 1 ∞ с н ψ н ( Икс , т ) "=" ∑ н "=" 1 ∞ с н ты н ( Икс ) опыт ⁡ ⁡ ( − я Е н т ℏ )

Коэффициенты расширения с н являются (комплексными) константами

Если измерение производится:

Когда измерение некоторых наблюдаемых О происходит, волновая функция ψ "=" ∑ н с н ψ н (где ψ н являются собственными функциями относительно О ^ ) проецируется на один из различных возможных результатов измерения с вероятностью проекции, определяемой выражением | с н | 2 .

Однако рассмотрим пример частицы в состоянии суперпозиции одномерной бесконечной квадратной ямы, описываемой равновзвешенной комбинацией основного и первого состояний:

ψ ( Икс , т ) "=" 1 2 [ ты 1 ( Икс ) опыт ⁡ ⁡ ( − я Е 1 т ℏ ) + ты 2 ( Икс ) опыт ⁡ ⁡ ( − я Е 2 т ℏ ) ]

Плотность вероятности меняется со временем:

| ψ ( Икс , т ) | 2 "=" 1 2 ты 1 2 ( Икс ) + 1 2 ты 2 2 ( Икс ) + ты 1 ( Икс ) ты 2 ( Икс ) потому что ⁡ ( ( Е 2 − Е 1 ) т ℏ )

Насколько они оба верны? С | с н | 2 постоянна, но | ψ ( Икс , т ) | 2 это не так, и они представляют собой одно и то же (я думаю??)

Относительная фаза собственных состояний энергии имеет значение для эволюции во времени. Простые квадраты величин коэффициентов не содержат этой информации. Объект с эквивалентной информацией будет либо вектором со всеми комплексными коэффициентами, либо матрицей плотности. Например, вы не могли бы решить, является ли колеблющийся член в вашем примере синусом или косинусом (или чем-то промежуточным, определяемым относительной фазой коэффициентов), если бы вам были даны только коэффициенты в квадрате.
Также обратите внимание, что с н в цитате может отличаться от коэффициентов разложения по энергии собственных состояний. Независимая от времени вероятностная интерпретация квадратов коэффициентов применима только для коэффициентов разложения по собственному базису измеряемого оператора.

Ответы (1)

Они не представляют одни и те же вещи.

  • The с н - амплитуда вероятности того, что система будет находиться в собственном энергетическом состоянии. н если вы измеряете энергию в любой момент времени.
  • Волновая функция ψ ( Икс , т ) , с другой стороны, есть амплитуда вероятности того, что система окажется в положении Икс если вы измеряете положение во времени т .

В вашем случае собственные состояния энергии, зависящие от времени, равны

ψ н ( Икс , т ) ∝ ты я   опыт ⁡ ( − я Е я т / ℏ ) ,
вплоть до нормализации. Из вашего первого уравнения легко увидеть, что если эти состояния уже нормализованы, то коэффициенты должны быть с н "=" 1 / 2 . Однако, если это не так, вы можете узнать коэффициенты, приняв во внимание, что собственные состояния энергии должны быть ортонормированы. Затем
⟨ ψ м , т | ψ , т ⟩ "=" ∑ н с н ⟨ ψ м , т | ψ н , т ⟩ "=" ∑ н с н дельта н , м "=" с м .

Расширяя пространство позиций:

⟨ ψ м , т | ψ , т ⟩ "=" ∫ ψ м * ( Икс , т ) ψ ( Икс , т ) г Икс "=" ∫ ψ м * ( Икс , т ) 1 2 [ ты 1 ( Икс ) е − я Е 1 т / ℏ + ты 2 ( Икс ) е − я Е 2 т / ℏ ] "=" ∫ ψ м * ( Икс , т ) 1 2 [ ψ 1 ( Икс , т ) Н 1 + ψ 2 ( Икс , т ) Н 2 ] "=" дельта м , 1 2   Н 1 + дельта м , 2 2   Н 2 ,
где Н я - нормировочные коэффициенты ты я дистрибутивы.

Окончательно,

| с 1 | 2 "=" 1 2   Н 1 2 "=" 1 2   ∫ | ты 1 ( Икс ) | 2 г Икс | с 2 | 2 "=" 1 2   Н 2 2 "=" 1 2   ∫ | ты 2 ( Икс ) | 2 г Икс .

Помните: вероятности зависят от того, какую наблюдаемую вы измеряете .

Цитируемый бит в моем вопросе скопирован непосредственно из моих заметок, поэтому я предполагаю, что это на 100% правильно. Поскольку наши условия относятся к любой наблюдаемой, а не только к энергии, и поскольку положение является наблюдаемым, почему оно не верно для положения.
Вероятность | с н | 2 не является постоянным во времени ни для каких наблюдаемых, а только для наблюдаемых, коммутирующих с гамильтонианом. Для квадратного колодца оператор положения Икс ^ не коммутирует с гамильтонианом ЧАС ^ "=" п ^ 2 / 2 м + В ( Икс ^ ) , поэтому коэффициенты вероятности | ψ ( Икс , т ) | 2 не постоянны во времени. Я полагаю, что в выражении ψ "=" ∑ н с н ψ н лектор имел в виду, что эти волновые функции и коэффициенты надо брать в момент измерения т 0 .
Измерение в общем состоянии суперпозиции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v