Обычно (для фермионов и скаляров) мы можем просто использовать разложение тензорных произведений представлений калибровочных групп, чтобы найти инвариантные члены, которые мы можем записать в лагранжиан.
Например, для фермионов, живущих в некотором представлении заданной калибровочной группы , мы можем вычислить
где , обозначают некоторые другие представления калибровочной группы.
Сумма в правой части обычно не содержит размерное представление, потому что это означало бы, что термины голой массы для фермионов разрешены. (Другими словами, мы можем получить s-й калибровочный инвариант, используя только фермионы). Такой термин, как всегда содержит размерное представление, но запрещено лоренц-инвариантностью.
Тем не менее мы можем использовать сумму в правой части, чтобы определить, какие представления Хиггса можно использовать для создания массовых членов для фермионов после нарушения симметрии. Например, если некоторые поля Хиггса находятся в , мы можем написать
Кроме того, мы можем использовать подобное разложение для записи потенциала Хиггса. Например, если в дополнение к Поля Хиггса в представлении существует, мы можем видеть из
что такой член допускается калибровочной инвариантностью.
Говорят, что бозоны живут в присоединенном представлении , но в соответствии с этим ответом вообще не преобразовываться в соответствии с каким-либо представлением калибровочной группы.
Но как тогда определить, какие члены, включающие калибровочные бозоны, допустимы в лагранжиане?
Как убедиться, что, например, калибровочный кинетический член для полей Хиггса, живущих в некотором представлении
на самом деле калибровочно-инвариантна, если недостаточно проверить, как описано выше, что мы можем получить размерное представление из тензорного произведения, потому что калибровочные группы на самом деле не преобразуются в соответствии с присоединенным представлением?
(Конечно, все можно сделать грубым перебором, используя обычные законы преобразования, но для какой-то большой калибровочной группы это практически невыполнимая задача)
Мы должны различать калибровочную группу , стереотипно группа Ли , а группа калибровочных преобразований , которые все -значные гладкие функции пространства-времени.
Нет проблем, если вы записываете только величины, которые преобразуются в правильные представления группы калибровочных преобразований. . Единственное правило, которое вы должны для этого соблюдать, — не записывать «голые» калибровочные поля — использовать их только внутри ковариантных производных или в тензоре напряженности поля. Почему?
Если преобразуется в линейное представление группы калибровочных преобразований, как и его ковариантная производная .
Тензор напряженности поля преобразуется в сопряженной группе калибровочных преобразований, даже если калибровочные поля не .
Получающий преобразовать в правильное представление несложно — каждое поле (кроме калибровочного!), которое преобразуется в представление как можно преобразовать в соответствующее представление как без дальнейших вопросов.
Поэтому, если вы воздерживаетесь от использования «голого» калибровочного поля, не возникает никаких проблем с выяснением того, какие члены являются инвариантными, а какие — не только из их теоретико-групповых свойств. По сути, это причина того, что сам калибровочный потенциал ненаблюдаем — он не только не является калибровочно- инвариантным , он даже не является ковариантным в хорошем смысле!
(Это не должно вызывать особого удивления — калибровочное поле введено для того, чтобы отменить некрасивые члены (производные) других полей, возникающие при преобразовании под действием , и это безобразие просто не исчезло, а спряталось в поле датчика)