Дифференцирующий пропагатор, функция Грина, корреляционная функция и т.д.

Основное различие, которое вы хотите сделать, это различие между функцией Грина и ядром. (Я предпочитаю терминологию «функция Грина» без 's. Представьте себе другое имя, скажем, Фейнман. Люди определенно сказали бы функцию Фейнмана, а не функцию Фейнмана. Но я отвлекся...)

Начните с дифференциального оператора, назовите его$L$. Например, в случае уравнения Лапласа тогда$L$это лапласиан$L = \nabla^2$. Тогда функция Грина$L$является решением неоднородного дифференциального уравнения

$$L_x G(x, x^\prime) = \delta(x - x^\prime)\,.$$ Мы поговорим о его граничных условиях позже. Ядро является решением однородного уравнения $$L_x K(x, x^\prime) = 0\,,$$ с краевым условием Дирихле $\lim_{x \rightarrow x^\prime}K(x,x^\prime) = \delta (x-x^\prime)$, или краевое условие Неймана $\lim_{x \rightarrow x^\prime} \partial K(x,x^\prime) = \delta(x-x^\prime)$.

Итак, как мы их используем? Функция Грина решает линейные дифференциальные уравнения с управляющими членами.$L_x u(x) = \rho(x)$решается

$$u(x) = \int G(x,x^\prime)\rho(x^\prime)dx^\prime\,.$$ Какие бы граничные условия мы ни накладывали на решение $u$указать граничные условия, которые мы накладываем на $G$. Например, запаздывающая функция Грина распространяет влияние строго вперед во времени, так что $G(x,x^\prime) = 0$когда бы ни $x^0 < x^{\prime\,0}$. (Здесь 0 обозначает временную координату.) Можно было бы использовать это, если бы граничное условие на $u$это было $u(x) = 0$далеко в прошлом, до исходного термина $\rho$"включается."

Ядро решает краевые задачи. Скажем, мы решаем уравнение$L_x u(x) = 0$на коллекторе$M$, и указать$u$на границе$\partial M$быть$v$. Затем,

$$u(x) = \int_{\partial M} K(x,x^\prime)v(x^\prime)dx^\prime\,.$$ В данном случае мы используем ядро ​​с граничными условиями Дирихле.

Например, ядро ​​теплопроводности — это ядро ​​уравнения теплопроводности, в котором

$$L = \frac{\partial}{\partial t} - \nabla_{R^d}^2\,.$$ Мы видим, что $$K(x,t; x^\prime, t^\prime) = \frac{1}{[4\pi (t-t^\prime)]^{d/2}}\,e^{-|x-x^\prime|^2/4(t-t^\prime)},$$ решает $L_{x,t} K(x,t;x^\prime,t^\prime) = 0$и более того удовлетворяет $$\lim_{t \rightarrow t^\prime} \, K(x,t;x^\prime,t^\prime) = \delta^{(d)}(x-x^\prime)\,.$$ (Мы должны быть осторожны, рассматривая только $t > t^\prime$и, следовательно, также принять ограничение по направлению.) Скажем, вам дали некоторую форму $v(x)$вовремя $0$и хотят «таять» в соответствии с уравнением тепла. Позже эта форма стала $$u(x,t) = \int_{R^d} K(x,t;x^\prime,0)v(x^\prime)d^dx^\prime\,.$$ Таким образом, в этом случае границей был отрезок времени в $t^\prime = 0$.

Теперь об остальных. Пропагатор иногда используется для обозначения функции Грина, иногда используется для обозначения ядра. Пропагатор Клейна-Гордона является функцией Грина, потому что он удовлетворяет$L_x D(x,x^\prime) = \delta(x-x^\prime)$за$L_x = \partial_x^2 + m^2$. Граничные условия определяют разницу между запаздывающим, опережающим и фейнмановским пропагаторами. (Видите? Не пропагатор Фейнмана) В случае поля Клейна-Гордона запаздывающий пропагатор определяется как

$$D_R(x,x^\prime) = \Theta(x^0 - x^{\prime\,0})\,\langle0| \varphi(x) \varphi(x^\prime) |0\rangle\,$$ куда $\Theta(x) = 1$за $x > 0$а также $= 0$в противном случае. Функция Вайтмана определяется как $$W(x,x^\prime) = \langle0| \varphi(x) \varphi(x^\prime) |0\rangle\,,$$ т.е. без временного ограничения заказа. Но знаете что? Это решает $L_x W(x,x^\prime) = 0$. Это ядро. Разница в том, что $\Theta$спереди, который становится Дираком $\delta$при взятии одной производной по времени. Если использовать ядро ​​с граничными условиями Неймана на границе временного интервала, соотношение $$G_R(x,x^\prime) = \Theta(x^0 - x^{\prime\,0}) K(x,x^\prime)$$ является общим.

В квантовой механике оператор эволюции

$$U(x,t; x^\prime, t^\prime) = \langle x | e^{-i (t-t^\prime) \hat{H}} | x^\prime \rangle$$ является ядром. Он решает уравнение Шредингера и равен $\delta(x - x^\prime)$за $t = t^\prime$. Люди иногда называют это пропагандистом. Его также можно записать в виде интеграла по путям.

Функции линейного отклика и импульсного отклика являются функциями Грина.

Все это двухточечные корреляционные функции. «Двухточечный», потому что все они являются функциями двух точек в пространстве (времени). В квантовой теории поля, статистической теории поля и т. д. можно также рассматривать корреляционные функции с большим количеством вставок поля/случайных величин. Вот где начинается настоящая работа!

Прошло много лет с тех пор, как вы задали этот вопрос. Я предполагаю, что со временем вы составили определения значений и различий для других терминов в вашем списке. Однако есть термины, не определенные в ответе @josh (ответ, на который я полагался несколько раз, спасибо за публикацию, @josh). Лично мой опыт связан с КХД на решетке, которая является как квантовой теорией поля, так и статистической теорией поля. Поэтому мне также пришлось сесть и систематизировать значения всех этих терминов. Я даю гораздо более целенаправленное обсуждение этих концепций в отношении термодинамического распределения fxn и свободной энергии.$F$в ( Восприимчивости и функции отклика ). Вот БОЛЬШАЯ картина, к которой я пришел во время моей докторской программы.

Проблема в том, что многие люди путаются в этом, поэтому ЧАСТО люди просто определяют свой собственный жаргон. Все они в основном одинаковы, но когда вы включаете какой-то термин взаимодействия или начинаете сдвигать сложные полюса вокруг этих вещей, они могут стать неясными. Чтобы быть шутливым, все то же самое, если вы не хотите слишком много думать об этом, отсюда и такая путаница.

---- Короткий и сладкий ----

Прежде всего, все пропагаторы, fxns Грина, Wightman и fxns линейного отклика ВСЕГДА можно понимать как 2pt-корреляционные функции (подробно обсуждаемые ниже).

Зеленые fxns, линейный отклик fxns, пропагаторы

• Функция линейного отклика ЯВЛЯЕТСЯ функцией Грина.
• Пропагатор невзаимодействующей теории поля ЯВЛЯЕТСЯ функцией Грина ( fxn ).
• Пропагатор теории взаимодействующего поля представляет собой свертку между функцией Грина невзаимодействующей теории и «спектральной функцией» (спектральное представление Каллена-Лемана). Таким образом, пропагатор представляет собой либо зеленую fxn, либо линейную комбинацию зеленых fxns... Легко!

Контурная интеграция

• Прилагательные «причинный/отсталый» и «фейнмановский» могут быть применены либо к распространителям, либо к зеленым формам. Они описывают контур, используемый для интегрирования вокруг полюсов пропагатора/зеленого fxn. Это обсуждается в конспектах лекций Дэвида Тонга QFT и GK здесь ( Причинный пропагатор и Фейнмановский пропагатор ).
• Обычно отсталый / причинный$n$-point fxns могут быть выражены (Peskin vs Tong Lectures & Wiki соответственно): $$D_{Retarded} = \Theta(x^0-y^0) \left< [\phi(x), \phi(y)] \right>$$ $$D_{Retarded} = \Theta(x^0-y^0) \left< \phi(x), \phi(y) \right>$$ Эти пропагаторы удовлетворяют свойству причинности, поэтому они также являются линейной функцией отклика . $\chi$(щипцы).
• Распространение Фейнмана , также известное как временной упорядоченный распространитель, имеет единообразное соглашение в литературе. $$D_{Feynman} = \Theta(x^0-y^0) \left< \phi(x), \phi(y) \right> + \Theta(y^0-x^0) \left< \phi(y), \phi(x) \right> = \left< \mathcal{T} \phi(x) \phi(y) \right>$$
• Функция Вайтмана по определению является просто корреляционной функцией (Пескин, Зи, Зубер, Хуанг). Ничего особенного, за исключением того, что они являются строительными блоками других распространителей. $$\Delta^{(+)} = \left< \phi(x) \phi(y) \right>$$ $$\Delta^{(-)} = \left< \phi(y) \phi(x) \right>$$ $$D_{Retarded} = \Theta(x^0-y^0) \left( \Delta^{(+)} - \Delta^{(-)} \right)$$ $$D_{Feynman} = \Theta(x^0-y^0) \Delta^{(+)} - \Theta(y^0-x^0) \Delta^{(-)}$$

---- Линейный отклик Fxns - это 2-точечная корреляция fxns ----

Начну с формул Кубо. Этот вывод следует «Кинетической теории» Тонга Гейла.$\&$Капуста. Предположим, что у нас есть некоторая система, находящаяся в равновесии, и применим к ней небольшое возмущение. Это похоже на равновесный гамильтониан$H_0$и возмущение$V_I$,

$$H(t) = H_0 + V_I(t)$$ Для этого примера допустим, что мы приложили электрическое поле к проводу. Тогда функция линейного отклика окажется проводимостью. Запишем потенциал взаимодействия как некоторый исходный член,$\phi$(зависящее от времени, внешнее, c-значное, скалярное поле), умноженное на наблюдаемую,$J$как, $$V_I(t) = \phi(t) J(t)$$

Теперь рассмотрим ожидаемое значение наблюдаемой,$J(t)$после возмущения$V_I(t)$применены.

$$\left< J(t) \right> = \left< U^{-1}(t,t_0) J(t) U(t,t_0) \right>_{eq}$$ Где по серии Швингера-Дайсона ( https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series ) у нас есть это$U^{-1}(t,t_0) = \mathcal{T}\exp(- i \int_{t_0}^t dt' V_I(t'))$, что в линейном порядке дает: $$\left< J(t) \right> \approx \left< \left(1 + i \int_{t_0}^t dt' V_I(t') \right) J(t) \left(1 - i \int_{t_0}^t dt' V_I(t') \right) \right>_{eq}$$ Мы можем расширить это математическое ожидание, используя свойство распределения и отбросив нелинейный член.$\propto \left( \int_{t_0}^t dt' V_I(t') \right)^2$. Нам остается, $$\left< J(t) \right> \approx \left< J(t) \right>_{eq} + \left< i \int_{t_0}^t dt' V_I(t') J(t) - i \int_{t_0}^t dt' J(t) V_I(t') \right>_{eq}$$ $$\left< J(t) \right> \approx \left< J(t) \right>_{eq} + i \left< \int_{t_0}^t dt' [ V_I(t'), J(t) ] \right>_{eq}$$ Вставить определение$V_I$сверху и вычесть равновесное значение наблюдаемой $$\left< J(t) \right> - \left< J(t) \right>_{eq} = \delta \left< J(t) \right> \approx i \int_{t_0}^t dt' \phi(t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq}$$ Пусть источник включен бесконечно давно ($t_0 \rightarrow -\infty$) и вставьте функцию тяжелой стороны ($t \rightarrow \infty$). $$\delta \left< J(t) \right> \approx i \int_{-\infty}^{\infty} dt' \Theta(t-t') \phi(t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq}$$ Мы можем сгруппировать термины, чтобы определить линейную функцию отклика,$\chi$. Где из-за инвариантности к сдвигу во времени $$i \Theta(t-t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq} = \chi (t',t) = \chi (t' - t)$$ Таким образом, мы приходим к нашему окончательному выражению. $$\delta \left< J(t) \right> \approx \int_{-\infty}^{\infty} dt' \phi(t') \chi (t'- t)$$ Мы видим здесь, что$[ J(t'), J(t) ] = J(t')J(t) - J(t)J(t')$поэтому функция линейного отклика эквивалентна функции корреляции 2pt. Кроме того, форма$i \Theta(t-t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq}$соответствует определению Пескина запаздывающей функции Грина (она же пропагатор свободного поля)

Мы также можем обобщить, когда наблюдаемое в ожидаемом значении и наблюдаемое в наблюдаемом в гамильтониане не являются одним и тем же наблюдаемым. Измеряемое наблюдаемое не является наблюдаемым, связанным с исходным термином. Например,

$$\left< \mathcal{O}_i(t) \right> \approx \left< \mathcal{O}_i(t_0) \right>_0 + i \int dt' \phi(t') \left< [ \mathcal{O}_j(t'), \mathcal{O}_i(t_0) ] \right>$$ Затем вы вычисляете функцию взаимной корреляции.

---- Пропагаторы представляют собой 2-точечные корреляционные fxns ----

Функциональный формализм КТП покажет нам, что пропагатор является 2pt-корреляционной функцией.

Чтобы прийти к функциональному формализму КТП, мы начнем с формулировки интеграла по путям амплитуды перехода в квантовой механике и добавим исходный термин (ЭТО ГДЕ @josh ЗАКОНЧИЛ СВОЙ ОТВЕТ, так что мы просто продолжаем с того места, где он остановился... см. также https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formula#Path_integral_formula )

$$\mathcal{Z}[J] = \int D_{\phi} e^{-S_E[\phi] + i\int d^4x J[x]\phi[x])}$$ Точно так же, как и в нашем обсуждении линейного отклика, наш исходный термин — это поле$\phi$, с наблюдаемым/текущим$J$. Обратите внимание, что к нашему фитилю повернуто евклидово действие$S_E$эквивалентно гамильтониану http://www.math.ucr.edu/home/baez/classical/spring_garett.pdf ) Так что$\mathcal{Z}[J]$является не только амплитудой перехода, но и обобщенной статистической суммой. По сути, мы связали фактор Больцмана с каждой возможной конфигурацией поля. Этот фактор Больцмана определяет меру вероятности, известную как мера Гиббса. $$\mathcal{Z}[J] = \int D\mu\{x\} e^{ \int d^4x J[x]\phi[x]}= \mathbb{E}\left[ \exp[i\int d^4x J[x]\phi[x] ]\right]$$ $$D\mu\{x\} = D_{\phi} \frac{e^{-S_E[\phi]}}{\mathcal{Z}[0]}$$ Теперь, используя меру Гибба, мы видим, что производящий функционал — это производящая функция момента из теории вероятностей, аргументом которой является набор стохастических переменных (квантовые поля$\phi[x]$).

А$\#$pt-корреляционная функция (сокращенно до$\#$pt-функция) может быть выражена через функциональные производные от производящего функционала.

$$\left< \prod_k \phi[x_k] \right> = (-i)^n\frac{1}{\mathcal{Z}[0]}\frac{\partial^n\mathcal{Z}}{\prod_k \partial J[x_k]}|_{J=0}$$ Тогда, по определению,$n$-точечная функция$n^{th}$моменты меры Гиббса.

Мы можем видеть по определению, что амплитуда перехода является вторым моментом меры Гиббса. Таким образом, пропагатор является двухточечной функцией

---- Зеленые функции - это 2-точечная корреляция fxns ----

Как указано, fxn Грина является пределом свободного поля пропагатора. Но этот случай аналитически разрешим, поэтому вместо простого аргумента мы можем показать для свободного скалярного поля, что двухточечная функция является его функцией Грина fxn.

В "QFT in a NutShell" CH 1.3 Зи показывает, что для свободного поля производящий функционал можно записать

$$Z[J] = Z[J=0] e^{\frac{i}{2} \iint d^4x' d^4y' J(x') G_F(x'-y')J(y')}$$ Взяв функциональную производную $$\begin{align} \frac{-1}{Z[0]}\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J(x) \delta J(y)} \big\vert_{j=0} &= \frac{-1}{2Z[0]}\frac{\delta}{\delta J(x)} \left( Z[j] \left( \int d^4y' G_F(y'-y) J(y') + \int d^4x' J(x') G_F(x'-y) \right) \right) \big\vert_{j=0} \\ &= \frac{1}{2Z[0]} \left( Z[J] \times 2 G_F(x-y) \right) \big\vert_{j=0} \\ &= G_F(x-y) \end{align}$$ Таким образом, мы приходим к заявленному ранее утверждению, что для свободного поля пропагатор дает Грину fxn. Поскольку зеленая функция является пропагатором для свободного поля, а все пропагаторы являются 2-точечными fxns, тогда.... ( барабанная дробь, пожалуйста )... Все зеленые fxns являются 2-точечными fxns.

---- Связь между пропагаторами, зелеными fxns и линейным откликом fxns ----

Мы могли бы сократить все эти производные и просто сделать расширение Вольтерры (как расширение Тейлора, но со свертками вместо производных — https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra_series#Continuous_time ). В линейном порядке расширение Вольтерры... как вы уже догадались!

$$\left< J(t) \right> \approx \left< J(t) \right>_{eq} + \int_{t_0}^t dt' \phi(t') \chi (t'- t)$$ Обратите внимание, что мы усекли наше нелинейное разложение Вольтерра в линейном порядке, поэтому мы решили иметь линейную систему, для которой можно было бы решить подходы функции Грина.

Чтобы победить дохлую лошадь: на вики-странице для зеленых функций говорится: «Если оператор инвариантен к переводу, то функцию Грина можно считать оператором свертки. В этом случае функция Грина такая же, как импульсная характеристика линейная стационарная теория систем».

Кроме того, исходный термин,$\phi(t)$в моем возмущении,$V_I(t)$, эквивалентна «движущей силе», которую @josh называет$\rho$. С этой точки зрения серии Volterra вы можете увидеть, как связаны наши ответы.

Если вы хотите рассмотреть нелинейные взаимодействия, то вы не можете обрезать свой ряд Вольтарра в первом порядке, и ваши ядра ответов станут нелинейными. Вся система больше не может быть решена с помощью жалкой функции Грина! Вам понадобятся диаграммы Фейнмана более высокого порядка с петлями, вершинами и прочим мусором.

--------------- ЦИТАТЫ -------------

https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-324-relativistic-quantum-field-theory-ii-fall-2010/lecture-notes/MIT8_324F10_Lecture7.pdf

Дэвид Тонг «Конспект лекций по кинетической теории» http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html

Дэвид Тонг "Конспекты лекций QFT" http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html

Гейл Капуста "Конечная температура FT"

Ле Беллак "Thermal FT"

Пескин$\&$Шредер «Введение в QFT».

Хуанг «Операторы интеграла по траекториям».

См. "QFT в двух словах"

Ициксон Зубер «Введение в QFT»

ответ Джоша хорош, но я думаю, что есть два момента, которые требуют уточнения.

Во-первых, его предложение, определяющее ядро, не имеет смысла, потому что, как написано, фиктивная предельная переменная появляется в обеих частях уравнения. В этом контексте нам нужно различать единственную зависимую переменную «временного типа»$t$и другие зависимые переменные "пробел"${\bf x}$, которые трактуются неравнозначно. (Я не использую термины «временеподобный» или «пространственноподобный», чтобы избежать путаницы со специальной теорией относительности, поскольку это различие может применяться независимо от того, является ли УЧП лоренц-инвариантным или нет.)

Правильное утверждение: «Ядро есть решение однородного уравнения$L_{{\bf x}, t}\, K({\bf x}, t; {\bf x}', t') = 0$, при условии граничного условия Дирихле [во времени]$K({\bf x}, t; {\bf x}', t) = \delta^d({\bf x} - {\bf x}')$или граничное условие Неймана$\partial_t K({\bf x}, t; {\bf x}', t) = \delta^d({\bf x} - {\bf x}')$, куда$d$есть число пространственных измерений».

Кроме того, я думаю, что выделение жирным шрифтом слова «линейный» только при обсуждении функции Грина вводит в заблуждение, потому что это, по-видимому, подразумевает, что линейность важна для различения функции Грина и ядра. На самом деле ядро ​​также используется для решения линейных дифференциальных уравнений. Я бы сказал, что основное различие между вариантами их использования заключается в том, что функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений, а ядро ​​— для решения однородных краевых задач. (Для неоднородных краевых задач идея ядра эффективно включена в процесс выбора функции Грина для получения правильных граничных условий.)