Как исчезают факторы перенормировки из рецепта вычисления S-матрицы в Peskin & Schroeder (стр. 229, уравнение (7.45) и стр. 324)?

В дальнейшем я ограничиваю свои рассуждения четырехточечными диаграммами.

После введения оператора перенормированного поля (в перенормированной теории возмущений)

$$\phi_r= (\sqrt{Z})^{-1} \phi\tag{10.15}$$ в уравнении (10.15) P&S утверждает, что «при вычислении элементов S-матрицы нам больше не нужны множители$Z$в уравнении (7.45);" Уравнение (7.45) выглядит так (жаль, что плохо умею рисовать пузыри) $$\langle p_1 p_2|S|k_1k_2\rangle = \tag{7.45}$$ $$(\sqrt{Z})^4(\mbox{sum of all amputated conn. diagrams with $p_1$, $p_2$ incoming, $k_1$, $k_2$ outgoing}).$$

Значит, фактор$(\sqrt{Z})^4$больше не будет появляться в уравнении. (7.45). На самом деле я не понимаю этого вывода.

Что я понимаю, так это то, что когда в LSZ-формуле (7.42) используются операторы перенормированного поля,$Z$исчезают факторы:

$$\prod_1^2 \int d^4x_i e^{i p_i x_i} \prod_1^2 \int d^4y_i e^{-i k_i y_i}\langle\Omega|T\{\phi_r(x_1)\phi_r(x_2)\phi_r(y_1)\phi_r(y_2)\}|\Omega\rangle$$ $$\sim \prod_1^2\frac{i}{p_i^2-m^2} \prod_1^2\frac{i}{k_i^2-m^2} \langle p_1 p_2|S|k_1k_2\rangle$$

где для простоты я пренебрег$+i\epsilon$сроки и лимиты$p^0_i\rightarrow +E_{p_i}$и$k^0_i\rightarrow +E_{k_i}$в правой части уравнения. В следующих P&S говорится, что

$$\prod_1^2 \int d^4x_i e^{i p_i x_i} \prod_1^2 \int d^4y_i e^{-i k_i y_i}\langle\Omega|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(y_1)\phi(y_2)\}|\Omega\rangle$$

соответствует рисунку 7.4, т. е. наиболее общей 4-точечной диаграмме, четыре ветви которой содержат пузырьки собственной энергии (представлены темными кружками) и сумму всех соединенных ампутированных 4-точечных диаграмм в центре. И каждый пузырек собственной энергии будет соответствовать такому фактору, как

$$\frac{i Z}{p^2-m^2}$$

Я по наивности сначала подумал, что так$Z$-факторы снова входили бы, но позже я подумал, что в перенормированной теории возмущений пузырьки собственной энергии также содержат встречные члены, чтобы они лучше соответствовали

$$\frac{i}{p^2-m^2}\tag{10.19}$$

но в конце концов я понял, что в перенормированной теории возмущений выражение

$$\prod_1^2 \int d^4x_i e^{i p_i x_i} \prod_1^2 \int d^4y_i e^{-i k_i y_i}\langle\Omega|T\{\phi_r(x_1)\phi_r(x_2)\phi_r(y_1)\phi_r(y_2)\}|\Omega\rangle$$

вместо этого следует рассмотреть. Глядя на это выражение, я уже не уверен, будет ли оно по-прежнему соответствовать рисунку (7.4), т.е.

$$\frac{iZ}{p_1^2-m^2}\frac{iZ}{p_2^2-m^2}\frac{iZ}{k_1^2-m^2}\frac{iZ}{k_2^2-m^2}\cdot (\mbox{sum of all amputated conn. 4-point diagrams})$$

что, по-видимому, справедливо только для ненормализованных полевых операторов. Для перенормированных полевых операторов$Z$s в предшествующем выражении, конечно, исчезают, но неужели

$$(\mbox{sum of all amputated conn. 4-point diagram})$$ одинаковый? Мне непонятно. Однако это является предпосылкой справедливости уравнения. (7.45) без$Z$, уравнение, которое я привел в начале моего вопроса.

Я был бы признателен, если бы кто-то с большим пониманием мог объяснить это мне.