Какие предположения о действии мы делаем или отбрасываем при переходе от классической механики к квантовой механике и к квантовой теории поля?

В NRQM мы представляем частицы локализованным волновым пакетом $\psi$, называемая волновой функцией. Грубо говоря, классическая частица находится на «пике» волнового пакета. Мы говорим, что не можем знать путь, потому что волновая функция может быть отличной от нуля в нескольких местах. Вместо того, чтобы детерминистически сказать, где находится частица, как в классической механике, мы можем дать только распределение вероятности$|\psi|^2$.

Теперь я покажу с помощью апокрифической истории Фейнмана, что интегралы по траекториям действительно вполне естественны. (Я читал эту историю в QFT Nut А. Зи.)

Давным-давно на уроке квантовой механики профессор бубнил об эксперименте с двумя щелями. Частица, вылетевшая из$S$вовремя$t=0$проходит через одно из двух отверстий$A_1,A_2$и обнаруживается в$O$вовремя$t=T$. Амплитуда определяется по принципу суперпозиции как сумма амплитуд$S\rightarrow A_1\rightarrow O$и$S\rightarrow A_2\rightarrow O$.

Внезапно Фейнман спросил: «А что, если мы просверлим третье отверстие?» Профессор ответил: «Амплитуда всего процесса теперь представляет собой сумму трех отдельных амплитуд». Фейнман, будучи Фейнманом, спрашивает профессора, что произойдет, если мы просверлим больше отверстий в экране. Очевидно, мы просто суммируем по дыркам . Позволять$\mathcal{A}$обозначают амплитуду. Затем

$$\mathcal{A}(\text{detected at $O$})=\sum_i\mathcal{A}(S\rightarrow A_i\rightarrow O)$$

Но Фейнман настаивает: «А что, если теперь мы добавим второй экран с дырками в нем?»

Профессор говорит что-то вроде: «Вы берете амплитуду, чтобы перейти от$S$к$A_i$на первом экране, затем$B_j$на втором экране, затем$O$а затем суммировать$i$и$j$."

Фейнман еще не закончил: «Что, если я поставлю третий или четвертый экран? Что, если я поставлю экран и просверлю в нем бесконечное количество отверстий, чтобы экрана больше не было?» (Совершенно дзен.)

Фейнман показал, что даже если бы между источником и детектором было просто пустое пространство, амплитуда частицы прошла бы через каждое из отверстий в каждом из (несуществующих) экранов. Другими словами, мы должны просуммировать амплитуду распространения частицы от источника к детектору по всем возможным путям между источником и детектором.

$$\mathcal{A}(\text{particle to go from $S$ to $O$ in time $T$})=\sum_\text{paths}\mathcal{A}(\text{particle to go from $S$ to $O$ in time $T$ following a particular path})$$

Теперь мы делаем эти идеи математически точными. В КМ амплитуда распространения из точки$q_I$до точки$q_F$во время$T$управляется унитарным оператором$e^{-iHT}$, где$H$является гамильтонианом. Точнее, амплитуда

$$\mathcal{A}=\langle q_F|e^{-iHT}|q_I\rangle\equiv \langle q_F|U(T)|q_I\rangle$$ С $U(T)$является экспоненциальным, мы можем записать его как произведение $$U(T)=\prod_{i=1}^N U(\delta t)=\prod_{i=1}^N e^{-iH\delta t},$$ где $\delta t=T/N$. Подставьте это в амплитуду $$\mathcal{A}=\langle q_F|\prod_{i=1}^N U(\delta t)|q_I\rangle$$ Теперь вставьте $N-1$копии $$I=\int dq|q\rangle\langle q|$$ между каждым фактором $U(\delta t)$: $$\mathcal{A}=\prod_{j=0}^{N-1}\prod_{i=1}^{N-1}\int dq_{i}\langle q_{j+1}|U(\delta t)|q_j\rangle$$ $$q_j=q(t_j)\quad q_I=q_0\quad q_F=q_N$$ Сосредоточиться на $\langle q_{j+1}|U(\delta t)|q_j\rangle$. Работа с частицей в неопределенном потенциале, $$H=\frac{P^2}{2m}+V(Q)$$ $P$- оператор импульса, он дает собственные значения $$P|p\rangle=p|p\rangle$$ $Q$является оператором положения, он производит собственные значения $$Q|q\rangle=q|q\rangle$$ Подключите это и оператор идентификации, $$I=\int dp|p\rangle\langle p|$$ в бюстгальтер: $$\langle q_{j+1}|U(\delta t)|q_j\rangle=\langle q_{j+1}|e^{-i\delta t(P^2/2m+V(Q))}|q_j\rangle=e^{-i\delta tV(q_j)}\int dp\langle q_{j+1}|e^{-i\delta t(P^2/2m)}|p\rangle\langle p|q_j\rangle$$ Отзывать $$\langle q\vert p\rangle=\frac{e^{ipq}}{\sqrt{2\pi}}$$ мы можем упростить интеграл $$e^{-i\delta tV(q_j)}\int dp e^{-i\delta t(p^2/2m)}\langle q_{j+1}|p\rangle\langle p|q_j\rangle=e^{-i\delta tV(q_j)}\int\frac{dp}{2\pi}e^{-i\delta t(p^2/2m)}e^{ip(q_{j+1}-q_j)}$$ Интеграл оценивается как $$e^{-i\delta tV(q_j)}\int\frac{dp}{2\pi}e^{-i\delta t(p^2/2m)+ip(q_{j+1}-q_j)}=\sqrt{-\frac{im}{2\pi\delta t}}e^{[im(q_{j+1}-q_j)^2]/2\delta t-i\delta tV(q_j)}=Ce^{i\delta t\{(m/2)[(q_{j+1}-q_j)/\delta t]^2-V(q_j)\}}$$ Подставив это в нашу формулу для интеграла по путям, мы получим $$\langle q_F|e^{-iHt}|q_I\rangle=C^N\left(\prod_{i=1}^{N-1}\int dq_i\right)\exp\left\{i\delta t\sum_{j=0}^{N-1}\left[\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_j}{\delta t}\right)^2-V(q_j)\right]\right\}$$ Теперь мы идем к пределу континуума, $$N\rightarrow\infty\quad\delta t\rightarrow 0$$ Затем $$\lim_{\delta t\rightarrow 0}\left[\frac{q_{j+1}-q_j}{\delta t}\right]^2=\dot{q}^2$$ и $$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{j=0}^{N-1}\delta t=\int_0^T dt$$ Также определите интеграл по всем путям $$\int Dq(t)=\lim_{N\rightarrow\infty}C^N\prod_{i=1}^{N-1}\int dq_i$$ Таким образом, мы получаем представление континуального интеграла $$\langle q_F|e^{-iHt}|q_I\rangle=\int Dq(t)\,e^{i\int_0^T dt(\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q))}$$ Возведенный в степень интеграл - это просто действие, поэтому мы можем записать амплитуду как $$\langle q_F|e^{-iHT}|q_I\rangle=\int Dq\,e^{iS[q]}=\int Dq\,\exp\left(i\int_0^T dtL(q,\dot{q})\right)$$

Теперь мы можем вывести принцип наименьшего действия. Это всего лишь причудливый интеграл осциллирующей комплексной экспоненты. Когда$S$стационарен, фазы аналогичны и складываются конструктивно . Когда мы удаляемся от этого равновесия, фазы быстро изменяются и складываются разрушительно . Поэтому мы ожидаем, что наибольший вклад в$\mathcal{A}$исходить из путей, для которых

$$\delta S=0$$ Обратите внимание, что неклассические пути добавляют к $\mathcal{A}$, но доминирующий вклад, а значит, и средний путь — классический.

Чтобы это была действительная квантовая теория, она должна подчиняться уравнению Шредингера. Сейчас мы покажем, что это так.

Мы можем записать производную по времени вектора состояния во времени$t=0$как

$$\frac{d}{dt}|\psi(0)\rangle=\frac{|\psi(\delta t)\rangle-|\psi(0)\rangle}{\delta t}$$ Итак, учитывая уравнение Шредингера, $$i\frac{d}{dt}|\psi(0)\rangle=H|\psi(0)\rangle,$$ мы можем аппроксимировать это как $$|\psi(\delta t)\rangle-|\psi(0)\rangle=-i\delta tH|\psi(0)\rangle$$ в $X$основа, мы имеем $$\psi(x,\delta t)-\psi(x,0)=-i\delta t\left[-\frac{1}{2m}\frac{\partial^2}{\partial^2 x}+V(x,0)\right]\psi(x,0)$$ Сравните это с представлением интеграла по путям того же порядка в $\delta t$: $$\psi(x,\delta t)=\int U(x,\delta t;x',0)\psi(x',0)dx'$$ $$U(x,\delta t;x',0)=\langle x|U(\delta t)|x'\rangle$$ Из вывода интеграла по траекториям имеем $$U(x,\delta t;x',0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\delta t}}\exp\left\{i\left[\frac{m(x-x')^2}{2\delta t}-\delta tV\left(\frac{x+x'}{2},0\right) \right]\right\}$$ Так $$\psi(x,\delta t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\delta t}}\int \exp\left[\frac{im(x-x')^2}{2\delta t}\right]\exp\left[-i\delta tV\left(\frac{x+x'}{2},0\right) \right]\psi(x',0)dx'$$ Первый экспоненциальный член быстро осциллирует, за исключением стационарной точки $x=x'$, где фаза имеет минимальное значение, равное нулю. Мы говорим, что область когерентности в интеграле по путям равна $\delta S\lesssim\pi$. Таким образом, область когерентности для первой экспоненты в терминах $\eta=x'-x$, $$\frac{m\eta^2}{2\delta t}\lesssim\pi$$ или $$|\eta|\lesssim\sqrt{\frac{2\pi\delta t}{m}}$$ Так что подумайте сейчас $$\psi(x, \delta t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\delta t}}\int\exp\left[\frac{im\eta^2}{2\delta t}\right]\exp\left[-\frac{i\delta t}{\hbar}V\left(x+\frac{\eta}{2},0\right)\right]\psi(x+\eta,0)d\eta$$ Мы работаем на первый заказ в $\delta t$и ко второму порядку в $\eta$. Мы расширяем $$\psi(x+\eta,0)=\psi(x,0)+\eta\psi'+\tfrac{1}{2}\eta^2\psi''+\cdots$$ $$\exp\left[-i\delta tV\left(x+\frac{\eta}{2},0\right)\right]=1-\frac{i\delta t}{\hbar}V\left(x+\frac{\eta}{2},0\right)+\cdots=1-i\delta tV(x,0)+\cdots$$ (условия заказа $\eta\delta t$следует пренебречь). Теперь наш интеграл становится $$\psi(x,\delta t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\delta t}}\int \exp\left[\frac{im\eta^2}{2\delta t}\right]\left[\psi(x,0)-i\delta tV(x,0)\psi(x,0)+\eta\psi'+\tfrac{1}{2}\eta^2\psi''\right]d\eta$$ Выполняя интегралы, получаем $$\psi(x,\delta t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\delta t}}\left[\psi(x,0)\sqrt{\frac{2\pi i\delta t}{m}}-\frac{\delta t}{2im}\sqrt{\frac{2\pi i\delta t}{m}}\psi''-i\delta t\sqrt{\frac{2\pi i\delta t}{m}} V(x,0)\psi(x,0)\right]$$ или $$\psi(x,\delta t)-\psi(x,0)=-i\delta t\left[-\frac{1}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x,0)\right]\psi(x,0)$$ это просто уравнение Шредингера.

Таким образом, квантовая механика интеграла по путям полностью согласуется с волновой механикой.

(Этот пост очень длинный. Задержка PSE невыносима. Не стесняйтесь задавать вопросы, но я больше не буду писать в этом поле для ответов.)