Как может операция коммутатора не быть транзитивной?

Question

Как может операция коммутатора не быть транзитивной?

Синь Ван

Я заметил следующее:

[л_{+}, л^{2}] "=" 0, [л_{+}, л_{3}] \neq 0, [л^{2}, л_{3}] "=" 0.

$[L_{+},L^2]=0,\qquad [L_{+},L_3]\neq 0,\qquad [L^2,L_3]=0.$

Это предполагает, что $L^2,L_+$ имеют общую систему собственных функций, и поэтому $L^2,L_3$ , но $L_+,L_3$ не. Как это возможно?

Ответы (2)

Как может операция коммутатора не быть транзитивной?

Qмеханик · Answer 1

Qмеханик

Коммутативность не является транзитивным отношением: если оператор $A$ коммутирует с $B$ и $C$ ,

А Б "=" Б А и А С "=" С А,

$AB=BA \quad\text{and}\quad AC=CA,$

тогда нет причин, чтобы $B$ и $C$ должен ездить.

Пример: взять $A=y$ , $B=x$ , и $C=p_x$ .

В частности, если коммутирующие самосопряженные операторы $A$ и $B$ имеют общий базис ортонормированных собственных векторов, и если коммутирующие самосопряженные операторы $A$ и $C$ имеют общий базис ортонормированных собственных векторов, то эти два базиса могут не совпадать, если спектр $A$ является вырожденным.

Синь Ван

Да, это то, что я заметил выше. Но вопрос в следующем: существует интерпретация, согласно которой они коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют общую систему собственных функций. Если вы посмотрите на это с этой точки зрения, то это должно иметь место. Так где же недостает этому рассуждению?

Qмеханик

Ответ состоит в том, что (в приведенных примерах) множество

{A, B, C}

$\{A,B,C\}$ всех трех операторов не имеют общего базиса ортонормированных собственных векторов. Только подмножество двух операторов в некоторых случаях имеет общий базис ортонормированных собственных векторов.

Синь Ван

Это говорит о том, что существуют различные способы выражения операторной основы

L^{2}

$L^2$ . Я знаю только о сферических гармониках. Как зовут другого?

Qмеханик

Другая проблема (в упомянутом примере) заключается в том, что

L_{+}

$L_{+}$ не является нормальным оператором , поэтому не существует ортонормированного базиса собственных векторов для

L_{+}

$L_{+}$ .

Синь Ван

Но может существовать базис собственных векторов, даже если оператор не является нормальным! Возьмите матрицу с первой строкой (0,1) и второй (4,0). У этого есть собственный базис, но он не является нормальным.

Qмеханик

Да, но собственные векторы не ортогональны. См. также этот и этот посты Phys.SE.

Синь Ван

только одно напоследок: что же это значит, что

[L^{2}, L_{+}]

$[L^2,L_+]$ ездить физически? Ваши рассуждения в вашей 1-й теме предполагают, что это не имеет физического смысла? Так что же значит смотреть на коммутатор между неэрмитовыми величинами?

Qмеханик

Так как я)

L_{\pm} = L_{x} \pm i L_{y}

$L_{\pm}= L_x\pm i L_y$ и (ii)

L^{2}

$L^2$ ,

L_{x}

$L_x$ ,

L_{y}

$L_y$ все эрмитовы, можно просмотреть утверждение

[L^{2}, L_{+}] = 0

$[L^2,L_{+}]=0$ как эквивалент

[L^{2}, L_{-}] = 0

$[L^2,L_{-}]=0$ , что, в свою очередь, эквивалентно паре утверждений об эрмитовых операторах:

[L^{2}, L_{x}] = 0

$[L^2,L_x]=0$ и

[L^{2}, L_{y}] = 0

$[L^2,L_y]=0$ . Единственное предостережение в том, что

L_{x}

$L_x$ и

L_{y}

$L_y$ не ездить!

Вальтер Моретти

Если я могу добавить комментарий,

[A, L_{+}] = 0

$[A,L_+]=0$ подразумевает, что

[A, L_{x}] = [A, L_{y}] = 0

$[A, L_x]=[A,L_y]=0$ как правильно сказал Qmechanic (я предполагаю

A = A^{†}

$A=A^\dagger$ ). Но можно сказать и больше: это также означает, что

[A, L_{z}] = 0

$[A,L_z]=0$ , с

L_{z}

$L_z$ пропорциональна

[L_{x}, L_{y}]

$[L_x,L_y]$ и выполняется тождество Якоби. Поэтому

[A, L_{+}] = 0

$[A,L_+]=0$ подразумевает, что (фактически эквивалентно)

A

$A$ инвариантен относительно действия

S O (3)

$SO(3)$ :

A

$A$ является скаляром.

Вальтер Моретти

Итак, физический смысл

[A, L_{+}] = 0

$[A,L_+]=0$ , для

A = A^{†}

$A=A^\dagger$ , в том, что $A$ является скалярной величиной относительно поворотов .

Вальтер Моретти · Answer 2

ПРИМЕЧАНИЕ. С $L_+$ не нормально (нормально значит $A^\dagger A = AA^\dagger$ ) не допускает базис ортонормированных собственных векторов. Однако ваш вопрос можно безопасно переформулировать, заменив $L_+$ для $L_2$ и я буду считать это впредь.

Самый элементарный случай этого явления дается тройкой нормальных матриц в $\mathbb C^n$ :

с я, А, Б

$cI,A,B$

с $[A,B]\neq 0$ и где $c\in \mathbb C$ является произвольно фиксированным числом. $A$ имеет общий базис собственных векторов с $cI$ : Каждый базис собственных векторов $A$ является такой основой. Аналогично, каждый базис собственных векторов $B$ также является базисом собственных векторов $cI$ . Однако, хотя это могло произойти для некоторого вектора, не может существовать весь базис собственных векторов, общих с $A$ и $B$ , иначе ссылаясь на эту основу $A$ и $B$ будет иметь диагональную форму и, следовательно, $[A,B]=0$ , что запрещено гипотезами.

Все это возможно благодаря тому, что собственные пространства $cI$ (максимально) вырождены . Два вектора $u$ и $v$ с тем же собственным значением ( $c$ ) в отношении $cI$ остаются собственными векторами $cI$ с тем же собственным значением, даже если оно линейно составлено: $au+bv$ . Тем не менее, если $u$ и $v$ являются собственными векторами $A$ , в общем $au+bu$ не является , но он может быть собственным вектором $B$ (оставаясь, как сказано, собственным вектором $cI$ )

Примерно такая же ситуация и при работе с $L^2$ и $L_2,L_3$ . Собственные пространства $\cal H_l$ из $L^2$ вырождены и в каждом собственном пространстве $L^2$ представлен $l(l+1)I$ . Более того, как $[L^2,L_i]=0$ , каждое собственное пространство $\cal H_l$ инвариантен относительно действия $L_i$ . Я имею в виду $L_i({\cal H}_l)\subset \cal H_l$ .

Ограничение до $\cal H_l$ , мы находим ситуацию, которую я описал выше: $L$ представлен $cI$ и $L_2, L_3$ представлены некоммутирующими операторами $A$ и $B$ .

Хороший ответ. Несколько вопросов, если не возражаете. Вы утверждаете, что, поскольку оператор не является нормальным, он не может иметь ортононормальный базис собственных векторов. Один из постулатов КМ предполагает, что наблюдаемые являются эрмитовыми, и из этого следует теорема, утверждающая, что каждый эрмитов оператор имеет базис из ортонормированных собственных векторов. Но вы говорите, что этого недостаточно? Так действительно ли постулат утверждает, что каждый наблюдаемый оператор на самом деле является нормальным (следовательно, также эрмитовым)?
Кроме того, почему в вашем ответе важно отметить, что каждое собственное пространство $\mathcal{H_l}$ инвариантен относительно действия $L_i$ как вы заявили " $L_i(\mathcal{H}) \subset \mathcal{H}$ "? Большое спасибо.
КМ предполагает, что каждая наблюдаемая является самосопряженной (не просто эрмитовой) и, следовательно, также нормальной. В общем, в неконечных размерностях даже нормальные операторы могут не иметь ортонормированного базиса (собственных) собственных векторов. Верно то, что нормальный оператор имеет спектральное разложение . Однако в начале моего ответа смысл был в другом. Если оператор ненормальный, то он не может иметь ортонормированный базис собственных векторов просто потому, что в противном случае он был бы нормальным! С $L_+$ не является нормальным, он не может иметь ортонормированный базис собственных векторов.
Что касается вашего второго вопроса, ответ содержится в моем последнем предложении: Ограничение $\cal H_l$ , мы находим ситуацию, которую я описал выше: $L$ представлен $cI$ и $L_2, L_3$ представлены некоммутирующими операторами $A$ и $B$ . Если $\cal H_l$ не были бы инвариантными, мне не позволили бы ограничить дискуссию $\cal H_l$ и воспользуемся уже рассмотренной теорией.
Хорошо, я вижу. Вы утверждаете: «Кроме того, как $[L_2,L_i]=0$ , каждое собственное пространство $\mathcal{H}_l$ инвариантен относительно действия Li". Насколько я понимаю, коммутативность $[L^2,L_i]=0$ подразумевает, что существует общий базис ортонормированных собственных векторов, а не то, что каждый собственный базис является общим. Вы предполагаете, что $\mathcal{H}_{l}$ является собственным пространством оператора $L^2$ , почему тогда следует, что $\mathcal{H}_{l}$ инвариантен относительно $L_{i}$ , что, если $\mathcal{H}_{l}$ является некоторым собственным базисом, который не является общим.
Какой результат или рассуждение вы используете, чтобы заявить об инвариантности $\mathcal{H}_l$ под $L_i$ из того что $[L_2,L_i]=0$ ? Спасибо.
Если $L^2 \psi = s\psi$ затем $L^2L_i\psi = L_i L^2 \psi = L_i s \psi = s L_i \psi$ .
Спасибо, это очень полезно. Какой материал (заметки или книгу) вы бы порекомендовали, чтобы пояснить разницу между эрмитовым и самосопряженным? Вы сказали, что наблюдаемая самосопряжена, а не просто эрмитова. Но в ответе в этом посте этот пост заключается в том, что эрмитовость подразумевает самосопряжение ... В вопросе говорится, что самосопряженность подразумевает эрмитовость ... и в вики они дают определение как то, что они определили как симметричное в приведенном выше пост МСЭ.

Как может операция коммутатора не быть транзитивной?

Синь Ван

Ответы (2)

Qмеханик

Синь Ван

Qмеханик

Синь Ван

Qмеханик

Синь Ван

Qмеханик

Синь Ван

Qмеханик

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Алекс

Алекс

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Алекс

Алекс

Вальтер Моретти

Алекс

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

Коммутация оператора углового момента [закрыто]

Почему [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x] коммутирует?

Вращение самого спинового оператора

Хитрое тождество оператора: [L2,[L2,r⃗]]=2ℏ2{L2,r⃗}[L2,[L2,r→]]=2ℏ2{L2,r→}[L^2,[L^2,\vec {r}]]=2 \hbar ^2 \{ L^2, \vec{r}\}?

Физическая интуиция, объясняющая, почему J^2J^2\hat{J}^2 и J^zJ^z\hat{J}_z коммутируют

Как некоммутативность приводит к неопределенности?

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

Есть ли простое выражение для [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?