В модели сильной связи говорится, что в определенном пределе мы можем рассматривать электроны в твердом теле как локализованные в отдельных атомах. Это утверждение встречается в большинстве вводных учебников по конденсированным средам, таких как Эшкрофт и Мермин, Киттель, Альтланд и Саймонс.
Однако оператор зависит от базиса! Если мы расширим базис Ванье, то верно, что каждая из наших электронных волновых функций локализована вокруг определенного атома. Однако мы также можем расширить базис Блоха, и в этом случае «своя» волновая функция каждого электрона делокализована. Более того, базис Блоха кажется мне более естественным, поскольку он диагонализует гамильтониан.
Эквивалентность этих двух точек зрения следует из вторичного квантования, поскольку вы можете записать вторично-квантованное основное состояние системы в терминах операторов создания в любом базисе. Следовательно, нет базисно-независимого значения «состояния» отдельного электрона. Как можно определить локализацию базисно-независимым способом?
Потенциал, испытываемый электронами в кристалле, чрезвычайно сложен. Поэтому желательно попытаться найти простые приближения для этого потенциала.
В модели сильной связи мы записываем набор пробных волновых функций (базис Ванье) в надежде, что сможем записать действие гамильтониана на эти состояния в простой форме. Мы не сказали, что электрон находится в каком-либо из этих состояний, мы только задали вопрос, что произошло бы, если бы это было так. Физический смысл модели заключается в том, что если потенциальная яма в каждом узле решетки достаточно глубокая и узкая, то
Это позволяет записать хорошее приближение для матричных элементов гамильтониана именно в этом базисе. Однако это не говорит нам, что на самом деле делают электроны. Чтобы сделать это для системы при конечной температуре, нам нужна матрица плотности, которая в тепловом равновесии имеет те же собственные состояния, что и гамильтониан. Как вы знаете, для любой решетчатой системы это блоховские состояния, и поэтому именно они будут определять ожидаемые значения любых наблюдаемых. Следовательно, для физики системы важны нелокализованные блоховские состояния, а не состояния Ванье, которые представляют собой просто промежуточное удобство.
Вот базисно-независимое утверждение о том, что электроны «локализованы в пространстве»: в определенных пределах (которые физически соответствуют сильному изолятору) многочастичная электронная волновая функция не запутана в позиционном базисе, т. е. является (приблизительно) произведением состояние одночастичных волновых функций Ванье, пространственные волновые функции которых незначительно перекрываются друг с другом. В этом случае мы можем думать об «индивидуальном электроне», живущем в каждом узле решетки, и игнорировать тонкости, связанные с квантовой запутанностью. Однако для проводника будет очень высокая пространственная запутанность между различными узлами решетки, поэтому нет никакого смысла, в котором волновая функция многих тел является просто продуктом пространственно локализованных одночастичных волновых функций.
В обоих случаях, если гамильтониан трансляционно инвариантен и невзаимодействует, то многочастичная волновая функция не будет запутана в импульсном базисе. Разница заключается в основе позиции.
По симметрии
Кнчжоу
Кнчжоу
По симметрии