Жесткая привязка в условиях большого размера системы

Предположим, что имеется непрерывный гамильтониан со спин-орбитальным взаимодействием, например

$H=-\dfrac{\mathbf{p}^2}{2m} +\kappa({\boldsymbol\sigma}\times\mathbf{p}) + U(x)$

и хотят аппроксимировать этот гамильтониан дискретной моделью с жесткой привязкой. Это можно сделать методом конечных разностей (например, Datta, Quantum Transport), используя замену

$(\partial^2_x \psi)_{x=x_n} \rightarrow \frac1{a^2}[\psi(x_{n+1}-2\psi(x_n)+\psi(x_{n-1})]$

$(\partial_x \psi)_{x=x_n} \rightarrow \frac1{2a}[\psi(x_{n+1}-\psi(x_{n-1})]$

Предположим теперь, что у вас есть противоположная задача, т. е. у вас есть гамильтониан сильной связи и вы хотите получить информацию о системе в непрерывном пределе. В качестве примера рассмотрим гамильтониан сильной связи

$H=\sum_{i=1}^N\sum_{ss'} \delta_{ss'} [u(r_i)-\mu] a^\dagger_{is} a_{is} + \delta_{ss'} t a^\dagger_{is} a_{i+1,s} + \imath\alpha\sigma^y_{ss'} a^\dagger_{is} a_{i+1,s'} + \text{h.c.}$

где$s$и$t$являются спиновыми индексами. Этот гамильтониан в общем случае не имеет аналитического решения, так как параметры и$u(r_i)$может зависеть от узлов решетки (например, система может содержать одну или несколько примесей).

Однако для конечных$N$в принципе всегда можно численно диагонализовать гамильтониан и вычислить некоторые соответствующие физические величины, например щель. Меня явно интересуют случаи, когда модель жесткой связи может быть решена только численно.

Существует ли общий метод получения непрерывного предела$N\rightarrow\infty$и$Na=\text{constant}$общей дискретной модели сильной связи? Во избежание путаницы подчеркну, что меня интересует не случай, когда система бесконечна, а предельный случай, когда система непрерывна, т. е. не дискретна, а имеет конечные размеры.$L=Na$.

Одна из идей состоит в численном расчете спектров и соответствующих физических величин для увеличения$N$и с уменьшающимся параметром решетки$a\rightarrow 0$с ограничением$Na=\text{constant}$и вывести асимптотическое поведение. Так как в непрерывном пределе$t=\hbar^2/(2m a^2)$и$\alpha=\kappa/(2a)$($\kappa$является параметром SO), это эквивалентно взятию предела$N\rightarrow\infty$и принимая$t\propto N^2$и$\alpha\propto N$.

Правилен ли этот подход? Правильно ли считать предел$N\rightarrow\infty$с$t\propto N^2$и$\alpha=\propto N$на каждом шаге расчета? Есть ли справочник или книга, в которой обсуждается дискретный и непрерывный предел?

Спасибо заранее.