КТП: Пропагаторы обратны квадратичным слагаемым в LL\mathcal{L}?

Правила Фейнмана по функциональным производным

В общем случае это не так, это просто так совпадает для полиномов полей, без каких-либо производных или других усложнений. По правде говоря, функциональные производные берутся до тех пор, пока не останется поля.

Например, схематически

$$-i\frac{\delta^4}{\delta \phi^4} \frac{\lambda}{4!} \phi^4 \to -i\lambda$$

в чем вся причина фактора$4!$- это удобное условное обозначение, но не необходимый коэффициент, и без него физика остается прежней. Более сложно, мы могли бы иметь,

$$-i\frac{\delta^2}{\delta \phi^2} \frac{\delta}{\delta A_\mu}g\phi A^\nu \partial_\nu \phi \to -ig(p_1^\mu + p_2^\mu)$$

который описывает векторную связь со скаляром, где$p_1$и$p_2$были бы моментами, обозначающими две ноги, прикрепленные к$A\phi\phi$вершина.

---

Квадратичные члены

Кинетический и массовый термин:

$$\mathcal L = \frac12 (\partial \phi)^2 - \frac12 m^2 \phi^2.$$

В пространстве Фурье$\partial_\mu \phi \to ip_\mu \phi$и так у нас есть$(\partial \phi)^2$должен идти как$p^2 \phi^2$. Интерпретируя инверсию в пространстве Фурье как мультипликативную инверсию, мы получаем, что пропагатор выглядит так:

$$\Delta \sim \frac{1}{p^2+m^2}.$$

Обратите внимание, что для лагранжиана контрчлена (когда вы переходите к перенормировке) кинетические и массовые контрчлены обычно интерпретируются как взаимодействия, и поэтому берутся функциональные производные, но инверсия не выполняется. Впрочем, это дело выбора, вместо этого можно было бы поглотить коэффициенты в пропагатор — они приводят к той же физике.

---

функция Грина

Обратите внимание, что пропагатор, не являющийся обратным квадратичным членам, также может быть интерпретирован как функция Грина уравнений движения. Это функция, которую можно использовать для решения уравнений с помощью

$$\phi(x) = \int \mathrm dx' \, G(x,x') f(x')$$

где$(\square + m^2)\phi(x) = f(x)$. Концептуально точно так же, как мы можем думать о функции, построенной из дельта-функций, мы можем думать о решении, построенном как о функциях Грина, поскольку,

$$(\square + m^2)G(x) \sim \delta^{(n)}(x).$$

Будучи несколько схематичным, вы можете думать о квантовой теории поля как о «свободном» (невзаимодействующем) лагранжиане, у которого есть решения, которые не взаимодействуют друг с другом, плюс лагранжиан взаимодействия, который сообщает модам, как взаимодействовать. Члены взаимодействия в лагранжиане создают вершинные факторы в правилах Фейнмана, но пропагатор взят из свободной, невзаимодействующей теории.

Пропагатор — это преобразование Фурье функции Грина для свободных уравнений движения; в вашем случае уравнением движения является уравнение Клейна-Гордона

$$\partial^2 \phi + m^2 \phi = 0.$$

Функция Грина$G$это решение

$$\partial^2 G + m^2 G = \delta^4(x).$$

Если вы преобразуете Фурье все уравнение, вы получите

$$-p^2 \tilde G + m^2 \tilde G = 1,$$

где$\tilde G$является преобразованием Фурье$G$. Если вы решите это для$\tilde G$, вы получите что-то вроде вашего пропагатора. Если мне не изменяет память, фактор$i$это просто условность для удобства. $i\epsilon$термин немного сложнее; учтите, что для получения функции Грина в позиционном пространстве вы должны интегрировать это$p$-пространственная функция над$d^4k$. Обычно это выполняется как комплексный контурный интеграл, и$i\epsilon$фактор контролирует, какой контур вы выбираете.

Я могу отредактировать, когда у меня будет доступ к своим заметкам, чтобы предоставить более конкретные комментарии, но это должно дать грубый обзор того, как пропагатор получается из «квадратичных» членов в лагранжиане (невзаимодействующих, включая квадратичные производные от лагранжиана). поле).

Основная хитрость заключается в том, чтобы представить источники$J_k$. Если свободное квадратичное действие$^1$

$$S_2[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \phi^k (S_2)_{k\ell} \phi^{\ell} \tag{1}$$ невырождена, то свободная статистическая сумма является интегралом Гаусса $$\begin{align} Z_2[J] ~:=~& \int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S_2[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}~& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_{\ell}J_k (S_2^{-1})^{k\ell} \right\}. \end{align}\tag{2}$$ Теперь мы можем действовать двумя способами:

1. С одной стороны, если мы определим свободный пропагатор как двухточечную функцию, то мы вычислим

   $$\begin{align} \langle \phi^k \phi^{\ell}\rangle^{(0)}_{J=0} ~:=~&\frac{1}{Z_2[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\phi^{\ell}\cr & \left.\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S_2[\phi]+J_m \phi^m\right)\right\}\right|_{J=0} \cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\left.\frac{1}{Z_2[J]} \left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\frac{\delta}{\delta J_k}\frac{\delta}{\delta J_{\ell}}Z_2[J]\right|_{J=0}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&i\hbar (S_2^{-1})^{k\ell},\end{align} \tag{3}$$ который отвечает на вопрос заголовка ОП.

2. С другой стороны, если мы определим свободный пропагатор как функцию Грина для дифференциального оператора свободного квадратичного действия (1), то вопрос заголовка OP следует непосредственно из определяющего свойства функции Грина.

Остальная часть вопроса ОП касается преобразования Фурье в импульсное пространство.

--

$^1$Мы используем сокращенную запись ДеВитта , чтобы не загромождать запись. Если$\phi^k$имеет четность Грассмана$|k|$, то согласованность требует следующих свойств симметрии:

$$\begin{align} (S_2)_{k\ell}~=~&(-1)^{|k||\ell|+|k|+|\ell|}(S_2)_{\ell k} \cr (S_2^{-1})^{k\ell}~=~&(-1)^{|k||\ell|}(S_2^{-1})^{\ell k}. \end{align}\tag{4}$$