Как мы можем использовать геометрические ряды для вычисления суммы функций Грина по петлевым эффектам

Я нашел суммирование функции Грина по повторной вставке 1PI в Schwartz p.330:

я г ( п ) "=" я п − м ( я Σ ( п ) ) я п − м + я п − м ( я Σ ( п ) ) я п − м ( я Σ ( п ) ) я п − м + ⋯ "=" я п − м [ 1 + − Σ ( п ) п − м + ( − Σ ( п ) п − м ) 2 + . . . ] "=" я п − м 1 1 + Σ ( п ) п − м "=" я п − м + Σ ( п )

Кажется, он использует геометрические ряды, предполагая | − Σ ( п ) п − м | < 1 со 2-й строки на 3-ю. Я не могу понять, как предположение | − Σ ( п ) п − м | < 1 справедливо для всех случаев.

Если я правильно понимаю, перенормировка поля и массовая перенормировка выполняются на следующей странице, так что Σ ( п ) равно 1PI собственной энергии до перенормировки поля. Например, собственная энергия электрона до е 2 порядок размерной регуляризации Σ ( п ) "=" α 2 π п − 4 м ϵ . Очевидно, как ϵ → 0 , | − Σ ( п ) п − м | < 1 вроде не держит.

Кто-нибудь может объяснить, как я могу использовать геометрические ряды для вычисления функции Грина? Или это просто расходится и я не могу использовать это?

Также я не понимаю идею «повторяющейся вставки 1PI», потому что похоже, что мы можем рассчитывать на эффект петли очень упорядоченным образом, но я думаю, что нам нужны доказательства, чтобы оправдать этот подсчет.

Ответы (1)

Некоторые замечания:

  • Напомним, что Σ ( п ) дается суммой всех диаграмм 1PI, и поэтому Σ ( п ) "=" α 2 π п − 4 м ϵ не может быть правильным: это неполный результат. На самом деле, вы также должны принимать во внимание контртерминальные диаграммы , что делает Σ ( п ) конечная функция, не зависящая от ϵ (в пределе ϵ → 0 ). Эта функция удовлетворяет

    Σ ( м ) "=" Σ ′ ( м ) "=" 0
    то есть,
    Σ ( п ) "=" О ( п − м ) 2

    Это, в свою очередь, означает, что Σ ( п ) п − м < 1 по крайней мере в окрестностях п "=" м . Пересуммирование Дайсона понимается в смысле аналитического продолжения в большую область формальной комплексной переменной п .

  • Равенство г ( п ) "=" 1 п − м + Σ ( п ) можно обосновать непертурбативно, то есть без пересуммирования расходящегося ряда. Подробнее см. Ициксон и Зубер, Квантовая теория поля, глава 6-2-2 (в частности, уравнения с 6.73 по 6.79). См. также статью в Википедии Эффективное действие .

  • Если вы настаиваете на определении Σ ( п ) через пересуммирование Дайсона, то вы правы в своем скептицизме: на самом деле, когда вы суммируете расходящийся ряд, порядок членов влияет на саму сумму. Можно признать, что такое предписание упорядочения является частью определения КТП (точно так же, как предписание регуляризации является еще одним фундаментальным компонентом теории). Интересным справочником по этому поводу является « О пересуммировании уравнений Дайсона — Швингера по Лапласу — Борелю» .

Дальнейшее чтение:

Для использования п как формальная комплексная переменная, см. Нормализация спинорного поля от полюсов в пропагаторе . Для асимптотического поведения Σ ( п ) для п → ∞ , вместо п → м , см. Есть ли известная граница роста взаимодействующих корреляционных функций? .

Хотя эффективное действие не использует возобновление расхождений, встречный член лагранжиана ( дельта л ) в показателе эффективного действия, насколько я знаю, содержится пертербативное разложение некоторой константы связи. Может быть, вы меня поправите. Спасибо.
@Liberty Привет. В действенном действии нет контртерминов. Возможно, статья в Википедии не лучший справочник для этого; вместо этого см., например, Ициксон и Зубер, Квантовая теория поля, глава 6.2.2 (в частности, уравнения с 6-73 по 6.79).
Как мы можем использовать геометрические ряды для вычисления суммы функций Грина по петлевым эффектам
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v