Перенормировка в разных масштабах в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Классическая механика

Рассмотрим аналогию в классической обстановке. Скажем, вы хотите изучить какую-то сложную систему, например, мост. Полностью смоделировать всю его динамику очень сложно, поэтому вы сначала вводите очень грубое приближение. Например, мы решили, что существует единственная релевантная степень свободы. Конечно, эта степень свободы зависит от того, что именно вы хотите изучать; например, если вы фокусируетесь, скажем, на тепловом расширении моста, то наиболее важной степенью свободы может быть его длина или объем. Если вы сосредоточены на его структурной целостности, вы бы взяли его вертикальную кривизну или что-то в этом роде. Назовем эту эффективную степень свободы$x(t)$.

Опять же, описывая полную динамику$x(t)$недостижимо, по крайней мере пока, поэтому мы довольствуемся более приблизительными значениями. Например, мы предполагаем, что$x(t)$не слишком сильно меняется в ходе наших экспериментов. В этом случае любой лагранжиан, описывающий его динамику, должен иметь вид

$$L=c_0 \dot x^2+c_1 x+c_2x^2+\mathcal O(x^3)$$ где$c_0,c_1,c_2$некоторые произвольные коэффициенты. (Высшие производные не берем из-за Остроградского ).

На этом этапе любой прогноз, который вы вычисляете, используя$L$будет зависеть от$c_i$. Чему равны эти коэффициенты? Что ж, нужны эксперименты. Но вы не можете измерить$c_i$напрямую: коэффициенты в лагранжиане неизмеримы. Например, вы можете измерить положение равновесия$x$. Действительно, если$x$это длина моста, вы просто измерьте$x(t)$для разных значений$t$и взять среднее. И предсказание положения равновесия, учитывая$L$выше, это$\langle x\rangle=-c_1/2c_2$. Так что, пока вы не можете измерить$c_1,c_2$непосредственно, вы можете измерить их частное. Другой объект, который вы можете легко измерить, — это частота колебаний$x(t)$вокруг$\langle x\rangle$; согласно приведенному выше лагранжиану, эта частота равна$\omega=\sqrt{c_2/c_0}$. Итак, опять же, даже если вы не можете измерить$c_0,c_2$непосредственно, вы можете измерить их частное, измерив частоту$\omega$. Подытожим это следующим образом: коэффициенты лагранжиана нельзя измерить напрямую, но вы можете использовать лагранжиан для вычисления прогнозов, которые поддаются измерению, а затем использовать эти прогнозы для фиксации значения ваших коэффициентов. Как только вы зафиксируете все свободные параметры, любое новое вычисление будет верным предсказанием вашей модели, чем-то, что вы сможете сравнить с экспериментами.

Излишне говорить, что вместо измерения среднего положения и частоты мы могли бы измерять другие наблюдаемые величины, такие как энергия или что-то еще. Эти прогнозы также зафиксируют значение$c_i$, хотя выражение для$c_i$изменится. Вы можете использовать любые измеримые параметры. Пока вы не сделаете алгебраическую ошибку, модель будет делать одни и те же прогнозы независимо от того, какой выбор вы сделаете. Алгебраическая форма предсказаний изменится — это зависит от того, какие наблюдаемые вы использовали для фиксации$c_i$-- но их числовое значение не будет.

Еще один важный момент, на который следует обратить внимание, заключается в следующем. Мы видели выше, что$\omega=\sqrt{c_2/c_0}$, так что вы можете заменить$c_2\to\omega^2c_0$в лагранжиане. Вам не следует этого делать по следующей причине. Скажем, вы увеличиваете свою точность, и поэтому «маленький$x$'' приближение уже не очень хорошо. Итак, вы вводите член более высокого порядка в лагранжиане,$c_3x^3$. В этой ситуации отношение$\omega=\sqrt{c_2/c_0}$уже неверно: ангармонический осциллятор имеет частоту$\omega^2\sim \omega_0^2+c_3^2$, где$\omega_0=\sqrt{c_2/c_0}$. Конечно,$\omega_0$больше не поддается измерению: если вы измерите частоту системы, вы получите$\omega$, нет$\omega_0$. Объект$\omega_0$больше не полезен, лично я бы даже не стал вводить для него обозначения. Это не имеет значения, я бы предпочел просто придерживаться произвольных коэффициентов$c_i$и истинные измеримые величины, такие как$\omega$.

Квантовая механика

Теперь давайте посмотрим, как это работает в квантовом случае. Опять же, мы хотим описать сложную систему. В отличие от того, что было раньше, у нас больше нет хорошей мысленной картины того, что такое «микроскопическая динамика». У нас нет полезной концепции фундаментального «квантового моста». Мы действительно не знаем, что такое «истинная» система. У нас есть только эффективная, приблизительная картина: мы предполагаем, что каким бы ни было правильное описание, эффективное описание должно работать, по крайней мере, для малых энергий. Итак, мы вводим некоторую «соответствующую» степень свободы$\phi(x)$, и надеюсь, что это дает хотя бы грубое приближение к истинной динамике, что бы это ни значило.

Опять же, мы надеемся, что имеет смысл сказать, что$\phi(x)$остается «маленькой» во время наших экспериментов, так что эффективное расширение

$$\mathcal L=c_0(\partial\phi)^2+c_1\phi+c_2\phi^2+\mathcal O(\phi^3)$$ имеет смысл. Как и в классических примерах, коэффициенты$c_i$не поддаются непосредственному измерению.

Что-то, что вы можете измерить, аналогично частоте$\omega$от ранее, это отношение$c_2/c_0$. Вы измеряете это соотношение следующим образом. Сначала определим функцию$\Pi(p^2)$как обратное ожидаемому значению$\langle \phi^2\rangle$в пространстве Фурье

$$\langle \phi(p)^2\rangle=\frac{1}{\Pi(p^2)}$$ Эту функцию можно вычислить из$\mathcal L$, путем сложения всех одночастичных неприводимых диаграмм Фейнмана с двумя внешними ветвями. Таким образом, вы можете выразить$\Pi(p^2)$как некоторая функция$c_i$. Далее вы также можете доказать [ref.1], что если$\Pi(p^2)$имеет некоторый корень первого порядка, $$\Pi(p^2)\propto(p^2-a)+\mathcal O((p^2-a)^2)$$ для некоторых$a$, то в лаборатории вы бы наблюдали точечную частицу с массой$\sqrt a$, распространяющийся в пространстве. При этом мнимая часть$\Pi(a)$становится шириной распада этой частицы. Итак, в целом, вы можете вычислить массу и постоянную распада в терминах$c_i$, а также измерить эти параметры, что позволяет вычислить значение$c_i$. Получив значение этих констант, вы можете сделать любой другой прогноз, какой захотите. В приведенном выше примере оказывается, что$a=c_2/c_0$, и$\Pi(p^2)$чисто реально, поэтому частица стабильна и имеет массу$\sqrt{c_2/c_0}$. (Как и в классическом случае, не следует заменять$c_2\to m^2c_0$в лагранжиане. Причина почти та же: если вы включаете члены более высокого порядка, отношение$m^2=c_2/c_0$уже не держит, а скорее$m^2\sim c_2/c_0+c_3$или что-то вроде того. Опять же, вы можете определить$m_0^2=c_2/c_0$, но толку от этого мало, т.к.$m_0$уже не поддается измерению. Лично я вообще не считаю «голую массу» полезной концепцией. Я предпочитаю работать исключительно с произвольными коэффициентами$c_i$и измеримые вещи, такие как$m$, и вообще никогда не вводите «голые», неизмеримые объекты).

Как и в классическом случае, можно выбрать другие измеряемые величины, чтобы зафиксировать$c_i$. (На практике измерение массы особенно удобно, потому что это наиболее релевантное взаимодействие в точном смысле, и, следовательно, это параметр с наименьшей неточностью). Как$\phi$менее физический, чем$x$, на самом деле нет причин придерживаться «физических» условий. Вы можете выбрать любой рецепт, который вам нужен — в конце концов, коэффициенты$c_i$не поддаются непосредственному измерению и$\phi$сам по себе мало что значит. Пока вы не сделаете алгебраических ошибок, модель будет делать точно такие же прогнозы для заданного вопроса.

Например, физическая масса, которую вы измеряете в лаборатории (спектроскопия или гистограммы Брейта-Вигнера), определяется условием$\Pi$имеет корень первого порядка, т.

$$\Pi(m^2)=0,\qquad \Pi'(m^2)=1$$ Например, вы можете переопределить $$\tilde\Pi(p^2)=\Pi(p^2+m^2-\mu^2)$$ так что условия становятся $$\tilde\Pi(\mu^2)=0,\qquad \tilde\Pi'(\mu^2)=1$$ Это просто изменение обозначения, значение$\langle \phi(p)^2\rangle$остается такой же. Единственное отличие состоит в том, что теперь мы фиксируем значение$c_i$с точки зрения$\mu^2$вместо$m^2$. Конечно,$m^2$поддается прямому измерению, а$\mu^2$просто некоторый произвольный параметр, не имеющий физического смысла и не поддающийся непосредственному измерению.

Выбор способа фиксации свободных параметров$c_i$с точки зрения некоторого условия называется выбором схемы . «Физический» выбор с точки зрения измеримых величин, таких как$m$известна как схема on-shell . Полезны и другие схемы, даже если они не включают параметры, поддающиеся непосредственному измерению. Никакое предсказание не может зависеть от выбора схемы; делают только промежуточные шаги.

Естественный вопрос: зачем кому-то хотеть выражать вещи в терминах$\mu^2$вместо$m^2$. Ответ заключается в том, что хотя этот параметр является произвольным, вы можете сделать для него разумный выбор, который упростит вам задачу. Например, оказывается, что так называемые опережающие логарифмы [refs.2-5], то есть наибольшая степень логарифма, фигурирующая в заданном порядке в теории возмущений, имеют вид, сильно ограниченный условиями согласованности . Например, с помощью размерного анализа и некоторых других свойств здоровых квантовых теорий можно утверждать, что они всегда принимают форму$\sim\log^n(s/\mu^2)$, с$s$центр массы энергии. Поэтому, если вы выберете$\mu^2\sim s$, т.е. если взять свободный параметр$\mu$быть около энергий ваших экспериментов, то ведущие журналы исчезают, и ваше приближение нижнего порядка становится почти таким же точным, как наличие ведущих журналов для всех порядков в теории возмущений. Вот почему наличие регулируемого параметра, такого как$\mu$становится полезным. Физическая масса, соответствующая положению полюса$\langle \phi^2\rangle$все еще$m^2$. Эта масса измерима и не зависит от выбора, который вы можете сделать. Его ценность уникальна.

Если бы мы могли вычислить все наблюдаемые во всех порядках по теории возмущений, работающие связи были бы совершенно бесполезны. Но мы не можем. Итак, мы делаем следующее: если в заданном результате младшего порядка мы заменяем муфты на оболочке их работающими аналогами, такими как$m\to m(\mu)$, то эти результаты низкого порядка становятся почти такими же точными, как и поправки более высокого порядка: большие логарифмы для всех порядков в теории возмущений становятся очень малыми, и поэтому их вклад почти так же, как уже учтен.

Рекомендации

1. Сидни Коулман, конспекты лекций, раздел 19, https://arxiv.org/abs/1110.5013 .

2. Бьоркен и Дрелл - Релятивистские квантовые поля, раздел 19.15.

3. Шварц - Квантовая теория поля и Стандартная модель, раздел 23.1.

4. Средненицкий - Квантовая теория поля, раздел 27.

5. Вайнберг - Квантовая теория поля, Том 2, глава 18.